Question

换元法求解不定积分，为什么错了？

Answer 1

错在换元的地方...令t=1/（cos²x-1）， 那么要先把x表示出来，就是x=arccos根号下(1/t + 1)，dx=(arccos根号下(1/t + 1))‘darccos根号下(1/t + 1)  ，所以你这种方法是麻烦一些……需要注意换元时，积分变量也会变。

正确方法：

∫tanxdx=-ln|cosx|+C。

∫tanxdx＝∫sinx/cosxdx=-∫(cosx)'/cosxdx＝-∫(cosx)'dcosx=-ln|cosx|+C。

扩展资料：

换元法是指引入一个或几个新的变量代替原来的某些变量(或代数式)，对新的变量求出结果之后，返回去求原变量的结果.换元法通过引入新的元素将分散的条件联系起来，或者把隐含的条件显示出来，或者把条件与结论联系起来，或者变为熟悉的问题.其理论根据是等量代换.

高中数学中换元法主要有以下两类：

(1)整体换元：以“元”换“式”。

(2)三角换元 ，以“式”换“元”。

(3)此外，还有对称换元、均值换元、万能换元等.换元法应用比较广泛。如解方程，解不等式，证明不等式，求函数的值域，求数列的通项与和等，另外在解析几何中也有广泛的应用。

均值换元

如遇到x+y=2S形式时，设x= S+t，y= S－t等等。

例如清华大学自主招生考试题，已知a，b为非负实数，M=a^4+b^4，a+b=1,求M的最值

可令a=1/2-t,b=1/2+t(0≤t≤1/2),带入M，M=2×（t^2+3/4)^2-1，由二次函数性质知M（min)=1/8,M(max)=1。

参考资料：换元法_百度百科