Question

在△ABC中，AD是高，BC的垂直平分线交AC于E，BE交AD于F，求证：点E在AF的垂直平分线上

Answer 1

∵BC的垂直平分线交AC于E
∴EB=EC. ∴∠B=∠1
又∵AD是高. ∴∠3=90º－∠B,∠2=90º－∠1
∴∠3=∠2.∵∠4=∠2
∴∠3=∠4.∴EF=EA
∴点E在AF的垂直平分线上

Answer 2

过E作EP⊥AD于P，过F作FM⊥EQ于M
∵EQ为BC的中垂线
∴∠1=∠2（三线合一定理）-----------------------①
--------------------------------
∵AD⊥BC，EQ⊥BC
∴AD∥EQ
那么，∠1=∠6（两直线平行，同位角相等）---------②
----------------------------------------
∵EP⊥AD，CD⊥AD
∴∠2=∠3（两直线平行，内错角相等）-------------③
综合①②③得：∠6=∠3
∴△EFA为等腰△
∴根据三线合一定理：EP是AF的中垂线
亦即：点E在AF的中垂线（亦即线段垂直平分线）上

Answer 3

满意回答里的∠1，∠2可能大家看不懂，我现在用字母表示一下。
∵EB=EC（已知）
所以∠EBC=∠ECB（等边对等角）
又∵AD是高（已知）
所以∠BFD=90°-∠EBC
∠DAC=90°-∠ECB（三角形内角和为180°）
所以∠BFD=∠DAC（等量代换）
又∵∠BFD=∠AFE（对顶角相等)
所以∠DAC=∠AFE(等量代换）
所以AE=EF（等角对等边)
所以点E在AF的垂直平分线上。(垂直平分线的判定）
祝大家天天向上，好好学习。