Question

定义域均为R的奇函数f （x）与偶函数g （x）满足f （x）+g （x）=10？

Answer 1

解题思路：（1）由题意可得：f（x）+g（x）=10 x，再根据函数的奇偶性可得：f（-x）+g（-x）=10 -x=-f（x）+g（x），进而结合两个式子求出两个函数的解析式．
（2）（法一）由（1）可得g（x 1）+g（x 2）的表达式，再利用基本不等式把g（x 1）+g（x 2）进行化简整理即可得到答案．
（法二））要证明原不等式成立，只要证g（x 1）+g（x 2）-2g（ x 1 + x 2 2 ）≥0即可
（3）由（1）可得f（x 1）、f（x 2）、g（x 1）、g（x 2）、f（x 1-x 2）与g（x 1+x 2）的表达式与结构特征，进而可求
（1）∵f（x）+g（x）=10x ①
∴f（-x）+g（-x）=10-x，
∵f（x）为奇函数，g（x）为偶函数
∴f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x）
∴-f（x）+g（x）=10-x ②
由①，②解得f（x）=[1/2]（10x-[1/10x]），g（x）=[1/2]（10x+[1
10x）．
（2）解法一：g(x1)+g(x2)＝
1/2(10x1+
1
10x1)+
1
2(10x2+
1
10x2)
=
1
2(10x1+10x2)+
1
2](
1
10x1+
1
10x2)≥
1
2•2
10x1×10x2+
1
2×2

1
10x1•
1
10x2
=
,9,定义域均为R的奇函数f （x）与偶函数g （x）满足f （x）+g （x）=10 x．
（1）求函数f（x）与g（x）的解析式；
（2）证明：g（x 1）+g（x 2）≥2g（ x 1 + x 2 2 ）；
（3）试用f（x 1），f（x 2），g（x 1），g（x 2）表示f（x 1-x 2）与g（x 1+x 2）．