Question

1*1!+2*2!+3*3!+4*4!+.....+n*n!=?

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Answer 1

求1^2+2^2+3^2+...+n^2的值（答案n(n+1)(2n+1)/6）
　　　　方法一：利用立方差公式
　　　　n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)] =n^2+(n-1)^2+n^2-n =2*n^2+(n-1)^2-n

　　　　2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
　　　　3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
　　　　4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
　　　　......
　　　　n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n

　　　　各等式全相加
　　　　n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)

　　　　n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)

　　　　n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1

　　　　n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2

　　　　3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1) =(n/2)(n+1)(2n+1)

　　　　1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
　　　　方法二：另外一个很好玩的做法

　　　　想像一个有圆圈构成的正三角形，
　　　　第一行1个圈，圈内的数字为1
　　　　第二行2个圈，圈内的数字都为2，
　　　　以此类推
　　　　第n行n个圈，圈内的数字都为n，
　　　　我们要求的平方和，就转化为了求这个三角形所有圈内数字的和。设这个数为r
　　　　下面将这个三角形顺时针旋转60度，得到第二个三角形
　　　　再将第二个三角形顺时针旋转60度，得到第三个三角形
　　　　然后，将这三个三角形对应的圆圈内的数字相加，
　　　　我们神奇的发现所有圈内的数字都变成了2n+1
　　　　而总共有几个圈呢，这是一个简单的等差数列求和
　　　　1+2+……+n=n(n+1)/2
　　　　于是3r=[n(n+1)/2]*(2n+1)
　　　　r=n(n+1)(2n+1)/6
当然，我也可以这样
这个式子中学生也知道的，不是到了微积分才遇到的。
证明这个式子一般都是用下面的方法：
因为(k+1)^3-k^3=3k^2+3k+1，分别取k=1，2，…，n写出n个等式：
2^3-1^3=3*1^2+3*1+1
3^3-2^3=3*2^2+3*2+1
……
(n+1)^3-n^3=3*n^2+3*n+1
把这n个等式两边相加，得到
(n+1)^3-1^3=3*(1^2+2^2+…+n^2)+3*(1+2+…+n)+n
即n^3+3n^2+3n=3*(1^2+2^2+…+n^2)+3n(n+1)/2+n
由此可以解得：1^2+2^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
你的式子只要用n-1代入n就可以得到。
用完全类似的方法，可以求得
1^3+2^3+…+n^3
1^4+2^4+…+n^4
…… 是法三
法四
数列{1/n^2}的前n项和的公式：
1^2+2^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6.
由二数和的立方公式：
(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1
--->(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1
n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1
(n-1)^3-(n-2)^3=3(n-2^2+3(n-2)+1
……………………………………
3^3-2^3=3*2^2 +3*2 +1
2^3-1^3=3*1^2 +3*1 +1
1^3=1.
以上n个等式的两边分别相加：
n^3=3(1^3+2^3+3^3+……+n^3)+3(1+2+3+……+n)+n*1
=3(1^2+2^2+……+n^2)+3(n+1)/2+n
--->3(1^2+2^2+……+n^2)=n^3-3n(n+1)-n
=n(n+1)(2n+1)/2
--->(1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6.
取n-1得到1^2+2^2+3^2+……+(n-1)^2=(n-1)n(2n-1)/6.

拓展：1^2+3^2+5^2+...+(2n-1)^2你知道怎么求吗，(*^__^*) 嘻嘻……

Answer 2

n*n!
=[(n+1)-1]*n!
=(n+1)*n!-n!
=(n+1)!-n!

所以原式=2!-1!+3!-2!+……+(n+1)!-n!
=(n+1)!-1