Question

f(x)=alnx+1/2x^2-(1+a)x (1)求f(X)的单调区间 (2)若f(x)>=0恒成立,求a的范围

Answer 1

（1）对f(x)进行求导得到f(x)'=a/x+x-1-a,令f(x)'>=0,得到a/x+x>=1-a,x>0,所以x^2+(a-1)x+a>=0,当a>1时,单调增区间为（a,无穷大）,减区间为（0,1）当0<a<1时,单调增区间为（1,无穷大）,单调减区间（0,a）,当a<=0时,单调增区间为[1,无穷大）,没有减区间.
（2）若f(x)>=0由（1）可知,当a>1时,f(x)的最小值为f(1)=-1/2-a>=0,a<=-1/2(不符合),当0<a =0,即lna-1/2a>1,不可能,所以不符合；当a2-a>=0,a<=-1/2.综上所述,a的范围为a<=-1/2</a </a<1时,单调增区间为（1,无穷大）,单调减区间（0,a）,当a<=0时,单调增区间为[1,无穷大）,没有减区间.