Question

极坐标面积公式怎么推导的？

Answer 1

极坐标面积公式=∫2πyds=∫2πrsinθ√(r^2+r'^2)dθ，wheresisarclength。
推导：y=rsinθ;(ds)^2=(dx)^2+(dy)^2=((-rsinθ+r'cosθ)dθ)^2+((rcosθ+r'sinθ)dθ)^2=（r^2+r'^2)(dθ)^2。
极坐标定积分是以R为半径，θ为积分变元，计算曲线面积的积分。
设曲线ρ=R在区间[θ1，θ2]上非负连续，当dθ足够小时，曲线面积近似为直角三角形面积，等于一边长度乘以高，故曲线面积积分变量为1/2R×Rdθ，由此得到曲线周长面积的定积分。