Question

设数列a1，a2.....an...中的每一项都不为0.证明：{an}为等差数列的充分必要条件是：对任何n属于N*，都有

1/（a1*a2）+1/（a2*a3)+...1/[an*a（n+1)]=n/[a1*a(n+1)]

Answer 1

[]表示下标
充分：
由1/（a1*a2）+1/（a2*a3)+...1/(an*a[n+1])=n/（a1*a[n+1]）得
1/（a1*a2）+1/（a2*a3)+...1/[a[n-1]*an]=(n-1)/（a1*an）
相减1/(an*a[n+1])=n/(a1*a[n+1])-(n-1)/（a1*an）
化简后a1=n*an-(n-1)*a[n+1]
则有a1=(n-1)*a[n-1]-(n-2)an
两式相减,化简有(n-1)*(a[n-1]+a[n+1])=(n-1)*(2*an) (n>=2)
即a[n+1]-an=an-a[n-1](n>=2)
等差数列
必要：
an为等差数列，则1/(an*a[n+1])=((a[n+1]-an)/d)/(an*a[n+1])=1/d*(1/an-1/a[n+1])
所以1/（a1*a2）+1/（a2*a3)+...1/[an*a（n+1)]=1/d*(a1-a2)+1/d*(a3-a2)+...+1/d*(1/an-1/a[n+1])=1/d*(1/a1-1/a[n+1])=((a[n+1]-a1)/d)/(a1*a[n+1])=n/(a1*a[n+1])