Question

怎么表示不定积分在某点的值

Answer 1

不定积分的方法总结
不定积分的方法总结
不定积分在高等数学中占有非常重要的地位，不管是在教师资格考试还是教师招聘考试中都有出题，另外不定积分的学习为以后学习定积分计算打下了坚实的基础，所以对于这方面的内容，下面是小编精心收集的不定积分的方法总结，希望能对你有所帮助。
不定积分的方法总结
教学过程：
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在实际问题的解决过程中，我们不仅要用到求导数和微分，还要用到与求导数和微分相反的计算即积分运算.也就是由函数的导数求原函数,它是积分学的基本问题之一-----求不定积分.
一、原函数
1．引例1：已知物体运动方程s s(t)，则其速度是物体位移s对时间t的导数.反过来,已知物体的速度v是时间t的.函数v v(t),求物体的运动方程s s(t),使它的导数s (t)等于v v(t),这就是求导函数的逆运算问题.引例2:已知某产品的产量P是时间t的函数P P(t),则该产品产量的变化率是产量P对时间t的导数P (t).反之,若已知某产量的变化率是时间t的函数P (t),求该产品产量函数P(t),也是一个求导数运算的逆运算的问题.
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2.【定义5.1】（原函数）设f(x)是定义在区间I上的函数．若存在可导函数F(x)，对 x I均有F (x) f(x)ordF(x) f(x)dx,则称F(x)为f(x)在I上的一个原函数.
例如：由(sinx) cosx知sinx是cosx的一个原函数；又(sinx 5) cosx,(sinx c) cosx（c是常数），所以sinx 5,sinx c也都是函数cosx的一个原函数.
再如：由(2x3) 6x2知2x是6x的一个原函数；32
(2x3 c) 6x2，所以2x3 c（c是常数）也是6x2的一个原函数．
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注意：没有指明区间时，应默认为区间就是函数定义域．
二、不定积分
1．原函数性质
观察上述例子知：函数的原函数不唯一，且有性质
(1)若f(x) C(I),则f(x)存在I上的原函数F(x).
(2)若F(x)为f(x)在I上的一个原函数，则F(x) C都是f(x)的原函数,其中C为任意常数.
(3)若F(x)和G(x)都是f(x)的原函数，则
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F(x) G(x) C.
证明： F(x) G(x)
F (x) G (x) f(x) f(x) 0.
C R, s.t.F(x) G(x) C.
(4)设F(x)为f(x)在I上的原函数,则f(x)在I上全体原函数为F(x) C（其中C为任意常数）.2.【定义5.2】函数f(x)在I上的全体原函数称为f(x)在I上的不定积分,记作 C R,s.t. f(x)dx.
即若F(x)为f(x)在I上的一个原函数,则有 f(x)dx F(x) C,C为任意常数.
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说明：(1) ---积分号；(2)f(x)---被积函数；
(3)f(x)dx----被积表达式.(4)x----积分变量.
3.结论：
①连续函数一定有原函数．
②f(x)若有原函数,则有一簇原函数.它们彼此只相差一个常数.
提问：初等函数在其定义区间上是否有原函数？例：edx,sinxdx， x2 2sinx xdx）
（一定有原函数，但原函数不一定还是初等函数.）例1求（1）3xdx；（2）x5dx. 2
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解（1）∵(x) 3x，∴32233xdx x C.
x6 x6
55（2） C. x, xdx 6 6
例2求解1 1 x2dx. arctanx 1,21 x
1 1 x2dx arctanx C.
1提问： dx arccotx C对吗？1 x2
1例3求 dx.x
11解: (lnx) , dx lnx C.xx
例4:某商品边际成本为100 2x,则总成本函数为C(x) (100 2x)dx 100x x2 C.
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3．导数与不定积分的关系
f (x)dx f(x) C.
(1)* df(x) f(x) C.(1)
df(x)dx f(x). dx
(2)*d f(x)dx f(x)dx.(2)
可见：微分运算与求不定积分的运算是互逆的.
提问:如何验证积分的结果是正确的?(积分的导数是被积函数时正确)
二、不定积分的几何意义
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如图： f(x)dx F(x) C，
函数f(x)的不定积分表示
斜率为f(x)的原函数对应的
一簇积分曲线.在同一点x0处
积分曲线簇的切线平行.
此曲线蔟可由F(x)沿y轴上下平行移动而得到．积分曲线：函数f(x)原函数y F(x)的图形称为f(x)
的积分曲线.
不定积分的几何意义：f(x)的不定积分是一簇积分曲线F(x) C.且在同一点x0处积分曲线簇的切线互相平行.
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例5设曲线通过点P(1,2),且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.解设曲线为y f(x),依题意知
x2dy 2x,dx 2x, 2xdx x2 C,
2于是f(x) x C,
由f(1) 2 C 1,
所求曲线方程为y x 1.
提问：如何验证积分的结果是正确的？（结果求导必须是被积函数）
小结：
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1．F(x)为f(x)在I上的原函数,则f(x)在I上全体原函数F(x) c为f(x)的不定积分，即2
f(x)dx F(x) c
2．注意当积分号消失时常数c产生．
3．熟记积分公式，注意将被积函数恒等变形后用公式计算不定积分．
课后记：存在的问题不能正确理解几何意义；计算错误较多，找不对原函数，写掉积分常数C.
【提问】判断下列结论是否正确
（不正确说明理由）
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(1)3dx 3x C.(2)xdx
(3)
515x C6 C.
(4) 1
x2 1x C.(5) 1
x lnx C.
(6) 5xdx 5xln5 C.
(7) 2exdx ex C.
(8) 2sinxdx cosx C.(9) 1
1 x2dx arctanx c arccotx C.
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(10) sec2xdx tanx C.
(11) csc2xdx cotx C.
(12) arcsinx C arccosx C.
(13) secxtanxdx secx C.
(12) cscxcotxdx cscx C.

Answer 2

不定积分公式：∫f（x）dx=F（x）+C。其中∫叫做积分号，f（x）叫做被积函数，x叫做积分变量，f（x）dx叫做被积式，C叫做积分常数，求已知函数不定积分的过程叫做对这个函数进行积分。
不定积分的积分公式主要有如下几类：
含ax+b的积分、含√（a+bx）的积分、含有x^2±α^2的积分、含有ax^2+b（a>0）的积分、含有√（a²+x^2） （a>0）的积分、含有√（a^2-x^2） （a>0）的积分、含有√（|a|x^2+bx+c） （a≠0）的积分。
含有三角函数的积分、含有反三角函数的积分、含有指数函数的积分、含有对数函数的积分、含有双曲函数的积分。
扩展资料：
积分性质
1、线性性
积分是线性的。如果一个函数f 可积，那么它乘以一个常数后仍然可积。如果函数f和g可积，那么它们的和与差也可积。
2、保号性
如果一个函数f在某个区间上黎曼可积，并且在此区间上大于等于零。那么它在这个区间上的积分也大于等于零。如果f勒贝格可积并且几乎总是大于等于零，那么它的勒贝格积分也大于等于零。
函数的积分表示了函数在某个区域上的整体性质，改变函数某点的取值不会改变它的积分值。对于黎曼可积的函数，改变有限个点的取值，其积分不变。
参考资料来源：百度百科—积分公式
回答于 2019-03-24

Answer 3

首先，微积分包括微分和积分，积分包括不定积分和定积分。
一、微分：
如果函数在某点处的增量可以表示成
△y=A△x+o(△x) (o(△x)是△x的高阶无穷小）
且A是一个与△x无关的常数的话，那么这个A△x就叫做函数在这点处的微分，用dy表示,即dy=A△x
△y=A△x+o(△x),两边同除△x有
△y/△x=A+o(△x)/△x,再取△x趋于0的极限有
lim△y/△x=lim[A+o(△x)/△x]=limA+lim[o(△x)/△x]=A+0
f'(x)=lim△y/△x=A
所以这里就揭示出了,导数与微分之间的关系了,
某点处的微分:dy=f'(x)△x
通常我们又把△x叫自变量的微分,用dx表示 所以就有
dy=f'(x)dx.证明出了微分与导数的关系
正因为f'(x)=dy/dx,所以导数也叫做微商（两个微分的商）

Answer 4

原函数 1.引例 1:已知物体运动方程 s s(t),则其速度是物体位移 s 对 时间 t 的导数.反过来,已知物体的速度 v
2. 不定积分的几何意义 如图: f(x)dx F(x) C, 函数 f(x