Question

初二几何问题【在线等】

如图，AD为△ABC的中线，∠ADB的平分线交AB于点E，∠ADC的平分线交AC于点F，求证BE+CF＞EF。

Answer 1

将FD延长至P，使PD=DF
则易证三角形CDF与三角形BDP全等(边角边定理)
因此DP=DF，BP=CF
又DF平分<ADC，DE平分<ADB，而<ADC+<ADB=180度，所以<EDF=90度
由DF=DP，且<EDF=90度，可知三角形EDF与三角形EDP全等，所以EF=EP
三角形EBP中，任意两边和大于第三边
EB+BP>EP
即EB+FC>EF

Answer 2

因为角BDA+角ADC=180
所以角EDA+角ADC＝90
所以EF^2=ED^2+DF^2
把三角形BDE以D为中心旋转180到三角形CDG
则同理角FDG＝90
又ED=GD
所以FG=FE
显然FC+CG>FG
即FC+BE>EF

Answer 3

因为DE与DF是平分线
所以EDF=90°
延长ED至G，使DE=DG
连接CG
所以三角形DEB≌DFC
所以BE=CG，连接FG
因为角EDF=90°，且DE=DG
所以三角形DEF≌DFG
所以在三角形CFG中，CF+CG大于FG
即CF+BE大于EF