Question

高一数学题，急！

如果四边形的一组对边的平方和等于另一组对边的平方和，问对角线关系？

Answer 1

它的对角线垂直

设顶点依次为 A，B，C，D。对角线的交点为O。

根据三角形边长定理：

AB^2=AO^2+OB^2-2AO*OB*COS<AOB

BC^2=BO^2+OC^2-2BO*OC*COS<BOC

CD^2=CO^2+OD^2-2CO*OD*COS<COD

DA^2=DO^2+OA^2-2DO*OA*COS<DOA

又应为：AB^2+CD^2=BC^2+DA^2

所以：AO^2+OB^2-2AO*OB*COS<AOB+CO^2+OD^2-2CO*OD*COS<COD=

BO^2+OC^2-2BO*OC*COS<BOC+DO^2+OA^2-2DO*OA*COS<DOA

整理得：AO*OB*COS<AOB+CO*OD*COS<COD=DO*OA*COS<DOA+BO*OC*COS<BOC

又因为对角相等： (AO*OB+CO*OD)*COS<AOB=(DO*OA+BO*OC)*COS<BOC

然后分类讨论，(AO*OB+CO*OD)=(DO*OA+BO*OC)的情况，这里得两角相等，相邻角和180，所以90

或者，(AO*OB+CO*OD)不=(DO*OA+BO*OC)，那COS<AOB=0，<AOB=90

Answer 2

用向量的知识去解啊。