Question

（2x-1/x）^n的展开式的各项系数的绝对值之和为729则展开式中的常数项是

Answer 1

（2x-1/x）^n的展开式中,
通项Tr+1=C(n,r)(2x)^(n-r)(-1/x)^r
r=0,1,2,...,n
系数为(-1)^n*2^(n-r)*C(n,r)
r为奇数时,系数为负值,
各项系数的绝对值为
2^(n-r)*C(n,r)
将它们相加：
2^n+C(n,1)2^(n-1)+C(n,2)2^(n-2)+...+C(n,n)2^0=（2+1)^n =3^n
∵各项系数的绝对值之和为729
∴3^n=720
∴n=6
通项Tr+1=C(6,r)(2x)^(6-r)(-1/x)^r
=(-1)^r2^(6-r)C(6,r)x^(6-2r)
令6-2r=0得r=3
常数项为(-1)^3*2^3*C(6,3)=-160