Question

如何由一个周期函数求出傅里叶积分？

Answer 1

一．
傅里叶级数
的
三角函数
形式
设f(t)为一非正弦
周期函数
，其周期为T，频率和
角频率
分别为f
,
ω1。由于工程实际中的非正弦周期函数，一般都满足
狄里赫利条件
，所以可将它展开成傅里叶级数。即
其中A0/2称为
直流分量
或恒定分量；其余所有的项是具有不同振幅，不同
初相角
而频率成整数倍关系的一些
正弦量
。A1cos(ω1t+ψ1)项称为一次谐波或
基波
，A1，ψ1分别为其振幅和初相角；A2cos(ω
2t
+ψ2)项的角频率为基波角频率ω1的2倍，称为
二次谐波
，A2，ψ2分别为其振幅和初相角；其余的项分别称为
三次谐波
，四次谐波等。基波，三次谐波，五次谐波……统称为
奇次谐波
；二次谐波，四次谐波……统称为
偶次谐波
；除恒定分量和基波外，其余各项统称为
高次谐波
。式（10-2-1）说明一个非正弦周期函数可以表示一个直流分量与一系列不同频率的正弦量的叠加。
上式有可改写为如下形式，即
当A0，An,
ψn求得后，代入式
(10-2-1)，即求得了非正弦周期函数f(t)的傅里叶级数展开式。
把非正弦周期函数f(t)展开成傅里叶级数也称为
谐波分析
。工程实际中所遇到的非正弦周期函数大约有十余种，它们的傅里叶级数展开式前人都已作出，可从各种数学书籍中直接查用。
从式（10-2-3）中看出，将n换成(-n)后即可证明有
a-n=an
b-n=-bn
A-n=An
ψ-n=-ψn
即an和An是
离散变量
n的
偶函数
，bn和ψn是n的
奇函数
。
二．
傅里叶级数的复指数形式
将式（10-2-2）改写为
可见
与
互为
共轭复数
。代入式（10-2-4）有
上式即为傅里叶级数的复指数形式。
下面对和上式的
物理意义
予以说明：
由式（10-2-5）得的模和
辐角
分别为
可见的模与幅角即分别为傅里叶级数第n次谐波的振幅An与初相角ψn，物理意义十分明确，故称为第n次谐波的复数振幅。
的求法如下：将式（10-2-3a,b）代入式（10-2-5）有
上式即为从已知的f(t)求的公式。这样我们即得到了一对相互的变换式（10-2-8）与（10-2-7），通常用下列符号表示，即
即根据式（10-2-8）由已知的f(t)求得，再将所求得的代入式（10-2-7），即将f(t)展开成了复指数形式的
傅立叶级数
。
在（10-2-7）中，由于离散变量n是从（-∞）取值，从而出现了负频率（-nω1）。但实际工程中负频率是无意义的，负频率的出现只具有数学意义，负频率（-nω1）一定是与正频率nω1成对存在的，它们的和构成了一个频率为nω1的正弦分量。即
引入傅立叶级数复指数形式的好处有二：（1）复数振幅同时描述了第n次谐波的振幅An和初相角ψn；（2）为研究信号的频谱提供了途径和方便。