Question

高数极限证明题：根据定义证明y=x/(1+x),当x趋于0时无穷小，请写出步骤，谢谢。

Answer 1

任给ε>0，因为ε可任意小，所以不妨设ε<1
当|x|<ε/2时，1/2<1+x<2
所以|y|<2|x|<ε
所以x趋于0时，y趋于0

追问

当|x|<ε/2时，1/2<1+x<2 ?

为什么当|x|<ε/2时，1/2<1+x<2 ?

追答

因为我前面假设ε<1
所以|x|<1/2
-1/2<x<1/2

追问

所以|y|<2|x|<ε ? 不好意思，我还是不太清楚，
为什么|y|<2|x| ？

追答

因为1+x>1/2
所以0<1/(1+x)<2
所以|y|<2|x|<ε-

追问

y=x/(1+x)
|y|=|x/(1+x)|
即使01时，x取任意，|x| /（ 1+|x| ）都小于ε
当ε=1时，x取任意，|x| /（ 1+|x| ）也小于ε
当ε<1时，|x| < ε / (1- ε)
即x满足|x| < ε / (1- ε)时，|y| = |x / (1+x)| < ε
任意给定正数ε，x总有一个邻域满足|y| < ε

追答

完全可以
就是没必要讨论ε与1的大小关系，因为ε一般都是足够小的量，直接假设小于1就可以了

0<1/(1+x)<2
这样就可以得到|y|=|x|*1/(1+x)<2|x|<ε
因为在极限的证明中δ的选择是多样的，只要方便就可以了

追问

非常感谢你的指点！我收获颇多！再次感谢！
你的数学思维真的很厉害，佩服！真不知你是怎么把数学思维提高这么强的。

Answer 2

y=x/(x+1)=1-1/(x+1)
当x趋向于0时，y趋向于1-1/1=0