Question

已知三角型ABC的2边AB,AC的长是关于X的一元二次方程 X平方-(2K+3)X+K平方+3K+2=0 的两个实根..

已知三角型ABC的2边AB,AC的长是关于X的一元二次方程 X平方-(2K+3)X+K平方+3K+2=0 的两个实根,第三边BC的长为5.
(1)K为何值时,三角形ABC是一BC斜边的直角三角形.
(2)K为何值时,三角形ABC是等腰三角形,并求三角形ABC的周长.

Answer 1

解：（1）先说一下，三角形三个顶点为A、B、C，三个角对应的边依次为a、b、c，因为三角形ABC是BC为斜边的直角三角形，所以必然有：b平方+c平方=a平方=25，而b、c是方程的两个根，所以b+c=2K+3，b*c=K平方+3K+2，因为b平方+c平方=（b+c）平方-2b*c=2K平方+6K+5，所以2K平方+6K+5=25，这样解得K=-5或2；

（2）三角形ABC是等腰三角形，有两种可能情况：
若b、c中某一个为5，不妨用c=5代入，b+c=2K+3，b*c=K平方+3K+2，这样解得K=3或4，b=4或6，这样三角形ABC的周长为14或16；

若b=c，代入，b+c=2K+3，b*c=K平方+3K+2，此时解方程发现，无解，所以这种情况不存在。

所以三角形ABC的周长为14或16