Question

求解矩阵相似的一道题

题与答案如图所示。
答案中说“请再体会本题中为何说与A有相同特征值就一定与A相似。”
我搞不明白为什么与A有相同特征值就一定与A相似，这个结论从哪里来的？？

Answer 1

"为什么与A有相同特征值就一定与A相似"
这个结论一般不正确, 正如[评注]所给的反例一样, 特征值相同不一定相似.

但是, 若再添加个条件就可以了:
若A,B都与对角矩阵相似, 且它们的特征值相同, 则A与B相似.

若A与对角矩阵相似, 可以证明:对角矩阵主对角元上的数都是A的特征值.
所以, A,B 相似于同一个对角矩阵.
即有 P^-1AP = Q^-1BQ.
所以有 (PQ^-1)^-1 A (PQ^-1) = B
即 A 与 B 相似.

Answer 2

矩阵A可以相似于对角阵。也就是说相似于对角元素是特征值的矩阵。由于矩阵相似有传递性，如果这些矩阵的特征值相同，即都可以相似于相同的对角阵的话，必然两两之间也相似。

Answer 3

我们河北高中好像不学这个。