Question

已知函数f(x)=e^[(kx-1)/(x+1)](e是自然对数的底数)

若对任意的x∈（0，+无穷），都有f(x)<x+1，求满足条件的最大整数k的值。

（求过程与答案。）

Answer 1

已知函数f(x)=e^[(kx-1)/(x+1)](e是自然对数的底数) ，若对任意的x∈（0，+无穷），都有f(x)<x+1，求满足条件的最大整数k的值。
解析：∵函数f(x)=e^[(kx-1)/(x+1)]，在区间（0，+无穷）上，都有f(x)<x+1成立
e^[(kx-1)/(x+1)]<x+1
两边取对数(kx-1)/(x+1)]<ln(x+1)==>k<[(x+1)ln(x+1)+1]/x
设h(x)= [(x+1)ln(x+1)+1]/x
令h’(x)= {[(x+1)ln(x+1)+1]’x-[(x+1)ln(x+1)+1]x’} /x^2
= {xln(x+1)+x-x ln(x+1)-ln(x+1)-1} /x^2= {x-ln(x+1)-1} /x^2=0
∴x-ln(x+1)-1=0==>x+1=e^(x-1)==>解得x≈2.1462
∴当x≈2.1462时，h(x)取极小值2.1462
∴满足条件的最大整数k的值为2

Answer 2

设kx-1/x+1 = t
那么x = (t+1)/(k-t)
所以只需满足f(t) = e^t < (t+1)/(k-t) + 1 = (k+1)/(k-t)
先看k=-1此时f(x) = 1/e < x+1在（0，+无穷）的时候显然是成立的，所以要求最大整数k，那么必须满足k>=-1
t=k-(k+1)/(x+1)在k>-1和x>0的时候的值域为(-1,k)
所以只需在t∈(-1,k)的时候满足e^t < (k+1)/(k-t)即可
g(t) = (k+1)/(k-t)在t∈(-1,k)上的最小值在t=-1的时候取得为-1
所以可以知道当k>-1的时候e^t与g(t)必然存在交点，所以k的最小值为k=-1

Answer 3

设g(x)=x+1-f(x)=x+1-e^[(kx-1)/(x+1)]
g'(x)=1-{[k(x+1)-kx+1]/(x+1)²}*e^[(kx-1)/(x+1)]
=1-[(k-1)/(x+1)²]*e^[(kx-1)/(x+1)]
所以(1)当k<1时， g'(x)>0 单增 g(x)>g(0)>1-1/e>0成立
(2)当k>1时，g'(x)<0单减，g(x)<g0)=1-1/e不能总是成立
综上：最大整数k=1

Answer 4

构造函数g(x)=x+1-f(x)=x+1-e^[(kx-1)/(x+1)]=x+1-e^[(kx+k-k-1)/(x+1)]=x+1-e^[k-(k+1)/(x+1)]
g(0)=1-1/e
现在只要证明g(x)在（0，+∞）是增函数即可
g'(x)=1-e^[k-(k+1)/(x+1)]*(k+1)/(x+1)^2>0
(k+1)*e^k*e^(x+1)/(k+1)]<(x+1)^2
这个方程好象不容易解呀

Answer 5

令x+1=g(x)
当x=0时，
f(0)≈0.36<g(0)
所以，要想使在(0,+∞)上，f(x)<g(x),只需让f'(x)<g'(x)就可以了 (因为f(0)<g(0),两个函数起始点f(x)<g(x))
f'(x)=(k+1)/(x+1)²·e^[(kx-1)/(x+1)]
f'(x)<g'(x)
(k+1)/(x+1)²·e^[(kx-1)/(x+1)]<1