Question

如何利用拉格朗日中值定理证明不等式1/（1+x0)？

Answer 1

做辅助函数F(t)=ln(1+t),则F在[0,x]上连续且可导.由拉格朗日中值定理得
F(x)-F(0)=F'(α)(x-0)（0<α即有ln(1+x)=x/(1+α).
由于0<α故1/(1+x)<1/(1+α)<1,
从而x/(1+x)令x=1/x即得1/1+x