Question

离散数学题，求证循环群的子群仍是循环群？

Answer 1

设G为循环群，那么G有生成元x，使得任何非单位元g属于G，均存在最小的正整数n，满足g=x^n。因此若H是G的子群,其任何元素非单位元h，均有h=x^n的形式。

不妨设d>0是满足x^d属于H的最小整数。任取x^a属于H(a>0)。则x^(am+tn)=(x^a)^m*(x^t)^n属于H。由Euclid辗转相除法知，存在m，n使得：

am+dn=(a，d)>0，表明x^((a，d))属于H，因为a=a1*(a，d)，d=d1*(a，d)，所以x^a，x^d可由x^((a，d))生成。

因此(a，d)<=d。由于d是最小的故(a，d)=d。又x^a是在H中任意取的非单位元。故H中的任何元素均可由x^d生。即H中的非单位元均是形如x^(dn)形式。故H是循环群。

扩展资料：

循环群的性质

1、设(a)是—个循环群，(1)若|a|=∞，则(a)与整数加群Z同构；(2)若IaI=n，则(a)与模n的剩余类加群Zn同构。

2、有且仅有两个元1和-1可以作为整数加群Z的生成元，且在Z中除零元外，每个元的阶都是无限的。

3、在模n的剩余类Zn中，有(1)|[k]|=n/(k，n)；(2)[k]是Zn的生成元<=>(k，n)=1。

参考资料来源：百度百科-循环群