Question

复数如何求导？

Answer 1

1、加减法

• 加法法则

复数的加法按照以下规定的法则进行:设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数，

则它们的和是(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.

两个复数的和依然是复数，它的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和。

• 复数的加法满足交换律和结合律，

即对任意复数z1,z2,z3,有:z1+z2=z2+z1;(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).

2、减法法则

复数的减法按照以下规定的法则进行:设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数，

则它们的差是(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.

两个复数的差依然是复数，它的实部是原来两个复数实部的差，它的虚部是原来两个虚部的差。

3、乘除法

• 乘法法则

规定复数的乘法按照以下的法则进行:

设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i.

其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，展开得:ac+adi+bci+bdi^2，因为i^2=-1，所以结果是(ac-bd)+(bc+ad)i。两个复数的积仍然是一个复数。

• 除法法则

复数除法定义:满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y∈R)叫复数a+bi除以复数c+di的商

运算方法:可以把除法换算成乘法做,在分子分母同时乘上分母的共轭.所谓共轭你可以理解为加减号的变换,互为共轭的两个复数相乘是个实常数.

• 除法运算规则:

①设复数a+bi(a，b∈R)，除以c+di(c，d∈R)，其商为x+yi(x，y∈R)，

即(a+bi)÷(c+di)=x+yi分母有理化∵(x+yi)(c+di)=(cx-dy)+(dx+cy)i.

∴(cx-dy)+(dx+cy)i=a+bi.

由复数相等定义可知cx-dy=adx+cy=b

解这个方程组，得x=(ac+bd)/(c^2+d^2)y=(bc-ad)/(c^2+d^2)

于是有:(a+bi)/(c+di)=(ac+bd)/(c^2+d^2)+(bc-ad)/(c^2+d^2)i②利用共轭复数将分母实数化得(见下图):

例题解析：

比如f(z)=x*x+i*y*y 则当z=1+i的时候 f的导数

可导需满足柯西黎曼条件:∂u/∂x=∂v/∂y，∂u/∂y=-∂v/∂x

导数为:f'(z)=∂u/∂x+i∂v/∂x

∂u/∂x=2x，∂v/∂y=2y，因此2x=2y，即x=y

∂u/∂y=0，∂v/∂x=0，则∂u/∂y=-∂v/∂x成立，因此当x=y时函数可导，函数在z=1+i处可导

f'(1+i)=2x+0i|(1+i)=2