Question

在平面直角坐标系XOY中,已知圆c1:（x+1）²+y²＝1和圆c2:(x-3)²+（y-

Answer 1

①设动圆C与圆C₁交于A₁、B₁,与圆C₂交于A₂、B₂.
∵A₁B₁A₂B₂平分周长
∴直线A₁B₁、A₂B₂分别为C₁、C₂的直径.
∴A₁C₁=B₁C₁=1,A₂C₂=B₂C₂=1.
又∵A₁C=B₁C=A₂C=B₂C=R.（R为C的半径）
∴△A₁B₁C、△A₂B₂C为等腰△.
∴A₁B₁⊥C₁C,A₂B₂⊥C₂C.
又∵A₁C₁=B₁C₁=1,A₂C₂=B₂C₂=1
∴C₁C=C₂C=√（R²-1）.
∴点C在线段C₁C₂的中垂线上.
k（C₁C₂）×k（C）=-1①
C所在直线过C₁C₂中点②
结合①、②得C所在直线l：y=-x+3.

②设动圆C的圆心C（a,b）,半径为R.
∵（a,b）在y=-x+3上.
∴b=-a+3,C（a,-a+3）.
∴C：（x-a）²+（y+a-3)²=R².
由（1）得C₁C=C₂C=√（R²-1）.
又C₁C=√（（a+1）²+（a-3）²）.
故R²-1=（a+1）²+（a-3）²,R²=（a+1）²+（a-3）²+1
于是C：（x-a）²+（y+a-3）²=（a+1）²+（a-3）²+1
展开得x²+y²-6y-2+a（2y-2x-2）=0.
x²+y²-6y-2=0①,2y-2x-2=0②
联立①、②解得定点（（2+3√2）/2,（4+3√2）/2）,（（2-3√2）/2,（4-3√2）/2）.

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