Question

一道较难不等式竞赛题

a,b,c>0且abc≤1,求证1/a+1/b+1/c≥1+6/(a+b+c)

Answer 1

利用一个不等式的性质 ：(a+b+c)/3≥³√(abc)   a,b,c﹥0.

Answer 2

直接用均值不等式啊，1/a+1/b+1/c≥3/abc的3次方跟，1+6/(a+b+c)≤1+6/3倍（abc的3次方跟）=1+2/abc的3次方跟，因为abc≤1，所以3/abc的3次方跟-2/abc的3次方跟=1/abc的3次方跟≥1，所以1/a+1/b+1/c≥3/abc的3次方跟≥1+2/abc的3次方跟≥1+6/(a+b+c)。这里等号条件相同（a=b=c）

Answer 3

解，据题目，若a,b,c＞0，abc≤1，可推测a,b,c为小于1的正小数，或者等于1，当a,b,c均等于1时1/a+1/b+1/c≥1+6/(a+b+c)才会成立。而当a,b,c为任意正小数时，均会＞1，而a+b+c会为小数，或＞1的小数，举例子时，当为a为0.1，b为0.2。c为0.3时，所以1/a+1/b+1/c等于15+10/3，而1+6/(a+b+c)等于11所以成立