Question

已知函数f(x)=ax^3+bx^2+cx+d在任意一点（x0，f（x0））处的切线的斜率k=(x0-2)(x0+1). 1、求a、b、c.

2、求f(x)的单调区间
3、若y=f（x）在-3<=x<=2上的最小值为5/2，求y=f（x）在R上的极大值

Answer 1

f(x)=ax^3+bx^2+cx+d
f`(x)=3ax²+2bx+c
k=3ax0²+2bx0+c
k=(x0-2)(x0+1)
=x0²-x0-2
3a=1
a=1/3
2b=-1
b=-1/2
c=-2
f(x)=1/3x^3-1/2x^2-2x+d
(2)f`(x)=x²-x-2>0
(x-2)(x+1)>0
x<-1 x>2
单调增区间(-∝,-1)U(2,+∝)
单调减区间(-1,2)
y=f(x)在-3≤x≤2
f(2)=8/3-2-4+d=-10/3+d
f(-3)=-9-9/2+6+d=-15/2+d
最小值为5/2
-15/2+d=5/2
d=10
极大值f(-1)=-1/3-1/2+2+10=67/6