Question

设a为实数，函数f(x)=2*x^2+(x-a)|x-a| . (1)若 f(0)大于等于1，求a 的取值范围； (2) 求f(x) 的最小值；

菜鸟求助啊（1） f(x)用x=0代入的话应该是-a丨-a丨大于等于1啊
（2）为什么最小值与a的正负有关呢

Answer 1

1、a是实数意味着a可以是正数也可以是负数；实数的绝对值定义：|a|=a(a≥0)；|a|=-a(a<0)。基于以上认识， 将x=0代入f(x)得-a|-a|≥1，这是一个绝对值不等式，求解时需去掉绝对值符号，因此有
当a≥0时有-a^2≥1，显然无解；当a<0时有a^2≥1，即a≤-1。
2、因为f(x)=2*x^2+(x-a)|x-a| 表达式中含有绝对值符号，而x-a的值可能为正也可能为负，所以在去掉绝对值符号时就会出现不同的结果，故讨论f(x)的最小值时需要考虑a的符号。
当x≥a时，f(x)=3x^2-2ax+a^2=3(x-a/3)^2+(2a^2)/3
上述结果表明我们在x≥a的前提下讨论函数f(x)=3x^2-2ax+a^2=3(x-a/3)^2+(2a^2)/3的最小值。
单就f(x)=3x^2-2ax+a^2=3(x-a/3)^2+(2a^2)/3而言，当x≥a/3时函数递增，当x<a/3时函数递减
满足条件x≥a的自变量x与a/3的关系与a的符号有关，所以分以下情况进行讨论：
当a≥0时，则a/3<a，于是a/3<a≤x，此时函数的最小值为f(a)=2a^2；
当a<0时，则a/3>a，于是函数的最小值为f(a/3)=(2a^2)/3
再用相同的方法讨论另一种情况即可。
值得注意的是解决二次函数的最大值与最小值问题时，正确画出函数图像的草图将会给问题的解决带来极大的便利；另一方面需要注意的是函数的定义域，所给定义域不同得到的函数最大值与最小值也会有所不同。
祝学习进步。

Answer 2

1、
f(0)=-a|-a|>=1
-a|a|>=1
若a>=0,则-a²>=1,不成立
a<0,则a²>=1
所以a<=-1

2、
x>=a
|x-a|=x-a
f(x)=3x²-2ax+a²
对称轴x=a/3
若a<=0,则a<=a/3,则x=a/3,最小=2a²/3
若a>=0,则a>=a/3,所以此时是增函数，x=a，最小=2a²

x<=a
|x-a|=-x+a
f(x)=x²+2ax-a²
对称轴x=-a
若a<=0,则-a>=a,所以此时是减函数，x=a，最小=2a²
若a>=0,则a>=-a,则x=-a,最小=-2a²

所以a<=0,两个最小是2a²/3,2a²,所以最小2a²/3
a>=0同理
所以
a<=0，最小2a²/3
a>=0,最小-2a²

Answer 3

-a丨-a丨=-a丨a丨

因为a可以取不同的实数
所以最小值与a的取值有关