Question

Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3，以C点为圆心，设圆C半径为r,当圆C与AB位置是相交时，r的取值范围是

已知△ABC中，AD⊥BC垂足为D，AD=2分之1BC，E,F分别是AB，AC中点，以EF为直径左半圆O，求证BC是半圆O的切线。

Answer 1

1,Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3
则AB=5
相切时AB*r=BC*AC
解得r=12/5
所以相交时，r的取值范围是12/5<r<4
(4是BC的长)
2,过O点做底边BC的垂线,交于G点
E,F分别是AB，AC中点,所以E,F是三角形ABC的中位线
EF=1/2BC
OG=1/2AD=1/2(1/2BC)=1/2 EF
EF是半圆的直径,
所以OG是半圆的半径
得BC是半圆O的切线

Answer 2

（1）由∠C=90°，BC=4，AC=3 得AB=5
C到AB的距离为AC*BC/AB=12/5
当r<12/5时与AB无交点
当r=12/5时与AB相切，即有一交点
当12/5<=r<=3j时，与AB线段有两个交点
当3<r<=4时，与AB线段有一个交点（与BA延长线有一交点)
当r>4时,与AB线段无交点(与AB两端延长线各一交点)
综上所述，r的取值范围为12/5<=r<=4
(2)
过F作FG垂直BC交BC于G,过O作OM垂直BC于M，则OM平行FG
因AD垂直BC，FG垂直BC
则FG平行AD，则FC/AC=FG/AD
又F为AC中点即FC=AC/FG=AD/2
因E，F分别为AB，AC中点
则EF平行BC，EF=BC/2
又OM平行FG
则OFGM为平行四边形
则OM=FG=AD/2
又AD=BC/2=EF
则OM=EF/2
则圆O经过M点
又OM垂直BC
所以BC为圆O的切线