Question

如何用概率论证明： P(AB)- P(A)=1？

Answer 1

根据概率的性质可知
0≦P(AB)≦P(A)≦1
0≦P(AB)≦P(B)≦1
因此有
0≦P(AB)P(AB)≦P(A)P(B)≦1
带入欲证明的不等式左边
则有：|P(AB)-P(A)P(B)|≦|P(AB)-P(AB)P(AB)| ---(1)
若能证明上述不等式(1)右边项小于等1/4,即|P(AB)-P(AB)P(AB)|≦1/4 ---(2)
则结论得证。

设P(AB)=x,根据概率知识可知 0≦x≦1， 可得不等式
|x-x^2|≦1/4 -----(3)
|x^2-x+1/4-1/4|≦1/4
|(x-1/2)^2- 1/4|≦1/4
-1/4 ≦ (x-1/2)^2 - 1/4 ≦ 1/4
0≦ (x-1/2)^2 ≦ 1/2 ---(4)
当 0≦x≦1时，上述不等式(4)成立，因此表达式(3)(2)依次成立，故由(1)(2)式得
|P(AB)-P(A)P(B)|≦|P(AB)-P(AB)P(AB)| ≦ 1/4
即不等式 |P(AB)-P(A)P(B)|≤1/4 得证。