Question

若关于X的方程X4+aX3+aX2+aX+1=0有实根,实数a的取值范围

Answer 1

由原方程可看出，x≠0，所以两边除以x²,得(x²+1/x²)+a(x+1/x)+a=0
再变形得(x+1/x)²+a(x+1/x)+a-2=0
记t=x+1/x，则|t|=|x|+1/|x|≥2√[|x|*(1/|x|)]=2，即t≤-2或t≥2。上面的方程变为
t²+at+a-2=0,
分离变量得1-a=t-[1/(t+1)]，可看出等号右边的t-[1/(t+1)]在t≤-2或t≥2时是增函数，所以
1-a≤-2-[1/(-2+1)]=-1，或1-a≥2-[1/(2+1)]=5/3
∴a≤-2/3,或a≥2。

Answer 2

关于X的方程X^4+aX^3+aX^2+aX+1=0的实根≠0，
两边除以x^2,得x^2+1/x^2+a(x+1/x)+a=0,(1)
设y=x+1/x,则|y|=|x|+1/|x|>=2,(1)变为
y^2-2+ay+a=0,
分离变量得a=(2-y^2)/(y+1)=1/(y+1)+1-y,
在y>=2,或y<=-2时a↓，
∴a<=-2/3,或a>=2.

Answer 3

解答：