Question

可降阶的二阶微分方程的问题

同济第五版高等数学教材12-6的课后习题
(4)y''=1+y'^2
(10)y''=(y')^3+y'
这两道题同样都不含参数x 但是第(4)题是不显含y的二阶微分方程，而第（10)题是不显含x的微分方程，解法中两题很不一样，请问如何判断这样的方程是不显含y还是不显含x
第四题你做的是对的，按照参考答案 第四题是不显含y的方程，而第十题是不显含x的方程，因而方法不同，至于如何判断，我已经一个头两个大了是同济第五版高数的原题，12章第六节的课后习题，相应同济第六版微分方程章节课后习题也有一摸一样的。

Answer 1

4. 继续： y ' = tan(x+C1)
=> y = - ln| cos(x+C1)| + C2
10. 继续：1+1/p^2=e^(-2x-2C1)
=> p = 1/ [ e^(-2x-2C1) - 1 ]^(1/2)
=> y ' = e^(x+C1) / [ 1 - e^(2x+2C1) ]^(1/2)
=> y = arcsin[ e^(x+C1)] + C2
两题的结果都与书上一致。不过 10. 如果选用你所说的方法，积分过程会简单的多。
但是通常这样的题目选择设 y ' = p(x) 居多。

Answer 2

这两道题目都是令y'=p
y''=1+y'^2化为
p'=1+p^2
dp/(1+p^2)=dx
arctanp=x+c1
p=tan(x+C1)=y'

y''=(y')^3+y'
化为p'=p^3+p
dp/(p^3+p)=dx
(1/p-p/(1+p^2))dp=dx
lnp-1/2ln(1+p^2)=x+C1
p^2/(1+p^2)=e^(2x+2C1)
1+1/p^2=e^(-2x-2C1)
有个初始值好做呀

追问

第（10）题你做错了呢，这问题郁闷我一天了，在第（10）题中设y'=p , y''=p*dp/dy然后再分离变量做的，我现在就是无法判断哪题是不显含y 哪题是不显含x

追答

那我就奇怪了，如果10做错了，4也是错误的。