Question

计算二重积分 [(1-x^2-y^2)dxdy, 其中 D:x^2+y^2x《x？

Answer 1

注意到积分区域 D 是圆形区域，我们可以将二重积分转换成极坐标系下的二重积分。极坐标系下，圆形区域的方程为 r^2 ≤ x^2 + y^2 ≤ rx，其中 r 为圆的半径，r ≤ x ≤ rcosθ，0 ≤ θ ≤ π/2。

因此，原式可化为：

∬D (1-x^2-y^2) dxdy = ∫₀^r ∫₀^(π/2) (1-r^2 cos^2 θ - r^2 sin^2 θ) r dθ dr

对第二项中的三项分别进行化简，得到：

1 - r^2 cos^2 θ - r^2 sin^2 θ = 1 - r^2 (cos^2 θ + sin^2 θ) = 1 - r^2

因此，原式继续化简为：

∫₀^r ∫₀^(π/2) (1-r^2) r dθ dr = ∫₀^r (1-r^2) (r ∫₀^(π/2) dθ) dr

对θ的积分结果为 π/2，因此继续化简得到：

∫₀^r (1-r^2) (r π/2) dr = π/2 ∫₀^r (r - r^3) dr

积分后得到：

π/2 [(r^2)/2 - (r^4)/4] from 0 to r = π/2 (r^2)/4 = πr^2/8

因此，原式的结果为 πr^2/8。