Question

过两直线3x+y-1=0与x+2y-7=0的交点，并且与第一条直线垂直的直线方程是？要详细过程谢谢！

Answer 1

先求得已知两直线3x+y-1=0与x+2y-7=0的交点P(-1，4)，又第一条直线的斜率为-3，所以，所求直线的斜率为1/3，方程为y-4=1/3*(x+1)，即x-3y+13=0。

解：先求得已知两直线3x+y-1=0与x+2y-7=0的交点P(-1，4)。

由所求直线与第一条直线垂直，可设所求直线的方程为x-3y+m=0。

由所求直线过点P(-1，4)，可得m=13。

故所求直线的方程为x-3y+13=0。

若学了过两已知直线交点的直线系方程，则还可设所求直线的方程为3x+y-1+n(x+2y-7)=0，即(3+n)x+(1+2n)y-(1+7n)=0。

由垂直条件，得3(3+n)+(1+2n)=0，即n=-2。

故所求直线的方程为x-3y+13=0。

空间方向

空间直线的方向用一个与该直线平行的非零向量来表示，该向量称为这条直线的一个方向向量。直线在空间中的位置， 由它经过的空间一点及它的一个方向向量完全确定。在欧几里得几何学中，直线只是一个直观的几何对象。在建立欧几里得几何学的公理体系时，直线与点、平面等都是不加定义的，它们之间的关系则由所给公理刻画。

Answer 2

过两直线3x+y-1=0与x+2y-7=0的交点，所有直线可设为
3x+y-1+a(x+2y-7)=0
(a+3)x+(2a+1)y-7a-1=0
斜率=-(a+3)/(2a+1)
因为
所求直线与第一条直线垂直，第一条直线斜率为-3
所以
-(a+3)/(2a+1)*（-3）=-1
a=-2
直线为
(-2+3)x+(2*(-2)+1)y+13=0
x-3y+13=0
或y=1/3*x+13/3.

Answer 3

略解：先求得已知两直线3x+y-1=0与x+2y-7=0的交点P(-1，4)，
又第一条直线的斜率为-3，
所以，所求直线的斜率为1/3，方程为
y-4=1/3*(x+1)，即x-3y+13=0。

另解：先求得已知两直线3x+y-1=0与x+2y-7=0的交点P(-1，4)，
由所求直线与第一条直线垂直，可设所求直线的方程为x-3y+m=0，
由所求直线过点P(-1，4)，可得m=13，
故所求直线的方程为x-3y+13=0。

若学了过两已知直线交点的直线系方程，则还可设所求直线的方程为
3x+y-1+n(x+2y-7)=0，即(3+n)x+(1+2n)y-(1+7n)=0，
由垂直条件，得3(3+n)+(1+2n)=0，即n=-2，
故所求直线的方程为x-3y+13=0。