Question

反双曲函数的泰勒级数展开式怎么证明？

Answer 1

反双曲函数的泰勒级数展开式可以表示为：

• 反双曲正弦函数的泰勒级数展开式：

arcsinh(x) = x + 1/6 * x^3 + 3/40 * x^5 + 5/112 * x^7 + ...

• 反双曲余弦函数的泰勒级数展开式：

arccosh(x) = ln(x + (x^2 - 1)^(1/2)) = ln(2x) + 1/2 * (1/2^2) * (x^2 - 1) - 1/4 * (1/2^4) * (x^2 - 1)^2 + 3/8 * (1/2^6) * (x^2 - 1)^3 - ...

• 反双曲正切函数的泰勒级数展开式：

arctanh(x) = x - 1/3 * x^3 + 1/5 * x^5 - 1/7 * x^7 + ...

下面我们分别来证明这三个展开式：

• 反双曲正弦函数的泰勒级数展开式

由于反双曲正弦函数的导数是

(arcsinh(x))' = 1 / (1 + x^2)^(1/2)

因此，可以将反双曲正弦函数表示为以下积分形式：

arcsinh(x) = ∫[1, x] dt / (1 + t^2)^(1/2)

将被积函数展开成泰勒级数形式：

1 / (1 + t^2)^(1/2) = 1 + (-1/2) * t^2 + (-1/2) * (-3/2) * t^4 + (-1/2) * (-3/2) * (-5/2) * t^6 + ...

将展开式代入积分式中：

arcsinh(x) = ∫[1, x] dt * (1 - 1/2 * t^2 + 1/2 * 3/2 * t^4 - 1/2 * 3/2 * 5/2 * t^6 + ...)

积分后，得到反双曲正弦函数的泰勒级数展开式：

arcsinh(x) = x + 1/6 * x^3 + 3/40 * x^5 + 5/112 * x^7 + ...

• 反双曲余弦函数的泰勒级数展开式

因为反双曲余弦函数是反双曲正弦函数的反函数，所以可以将反双曲余弦函数表示为：

arccosh(x) = ln(x + (x^2 - 1)^(1/2))

对 x 进行展开：

x + (x^2 - 1)^(1/2) = x + x*(1 - 1/2 * x^2 + 3/8 * x^4 - 5/16 * x^6 + ...)

将上式代入 arccosh(x) 的定义式中：

arccosh(x) = ln(x + x*(1 - 1/2 * x^2 + 3/8 * x^4 - 5/16 * x^6 + ...))

化简可得：

arccosh(x) = ln(2x) + 1/2 * (-1/2) * (1/2) * x^2 + 1/4 * (-1/2) * (-3/2) * (1/2)^2 * x^4 + 1/6 * (-1/2) * (-3/2) * (-5/2) * (1/2)^3 * x^6 + ...

因此，反双曲余弦函数的泰勒级数展开式为：

arccosh(x) = ln(2x) + 1/2 * (1/2^2) * (x^2 - 1) - 1/4 * (1/2^4) * (x^2 - 1)^2 + 3/8 * (1/2^6) * (x^2 - 1)^3 - ...

• 反双曲正切函数的泰勒级数展开式

因为反双曲正切函数是反双曲正弦函数的反函数，所以可以将反双曲正切函数表示为：

arctanh(x) = ∫[0, x] dt / (1 - t^2)

将被积函数展开成泰勒级数形式：

1 / (1 - t^2) = 1 + t^2 + t^4 + t^6 + ...

将展开式代入积分式中：

arctanh(x) = ∫[0, x] dt * (1 + t^2 + t^4 + t^6 + ...)

积分后，得到反双曲正切函数的泰勒级数展开式：

arctanh(x) = x - 1/3 * x^3 + 1/5 * x^5 - 1/7 * x^7 + ...

因此，反双曲函数的泰勒级数展开式得证。