Question

4.作适当变换,求下列微分方程的通解:-|||-(1) y`=4e^(-y)-2/(2x+1)？

Answer 1

解:微分方程为y'=4e⁻ʸ-2/(2x+1)，化为eʸy'+2eʸ/(2x+1)=4，设eʸ=u，微分方程化为

u'+2u/(2x+1)=4，(2x+1)u'+2u=4(2x+1)，

[(2x+1)u]'=8x+4，(2x+1)u=4x²+4x+c(c为任意常数)，微分方程为y=ln[(4x²+4x+c)/(2x+1)]

解微分方程

请参考

Answer 2

要求微分方程的通解，首先需要将方程进行适当的变换和整理。

给定微分方程：y' = 4e^(-y) - 2/(2x + 1)

首先，将方程转换成标准形式，即将y'项移到等式右侧：

y' + y = 4e^(-y) - 2/(2x + 1)

现在，我们使用积分因子的方法来解这个一阶线性常微分方程。积分因子μ(x)是y'系数的指数函数，即：

μ(x) = e^∫(1 dx) = e^x

然后，我们将整个方程两边同时乘以μ(x)：

e^xy' + e^xy = 4e^x e^(-y) - 2e^x/(2x + 1)

现在，我们可以将方程左侧看成一个链式法则的结果，即 (e^xy)'，这样方程可以简化为：

(e^xy)' = 4e^x e^(-y) - 2e^x/(2x + 1)

接下来，我们对等式两边同时积分：

∫(e^xy)' dx = ∫(4e^x e^(-y) - 2e^x/(2x + 1)) dx

对左侧积分得：

e^xy = ∫(4e^x e^(-y) - 2e^x/(2x + 1)) dx

对右侧第一项积分得：

∫(4e^x e^(-y)) dx = 4∫(e^x e^(-y)) dx = 4∫(e^(x-y)) dx = 4e^(x-y)

对右侧第二项积分得：

∫(-2e^x/(2x + 1)) dx = -2∫(e^x/(2x + 1)) dx

这里的 ∫(e^x/(2x + 1)) dx 不是简单的初等函数，所以我们可以将其视为特殊函数。

综上所述，微分方程的通解为：

e^xy = 4e^(x-y) - 2∫(e^x/(2x + 1)) dx

注意：这里的 ∫(e^x/(2x + 1)) dx 是特殊函数形式，不能进一步简化成常见的初等函数形式。如果需要数值解，可以使用数值积分方法进行计算。

Answer 3

设y=lnu,则u=e^y,
dy/dx=dy/du*du/dx=(1/u)du/dx,
y`=4e^(-y)-2/(2x+1)化为
du/dx=4-2u/(2x+1),
(2x+1)du=(8x+4-2u)dx,
整理得(2x+1)du+2udx=(8x+4)dx
积分得u(2x+1)=4x^2+4x+c,
u=(4x^2+4x+c)/(2x+1),
y=ln[(4x^2+4x+c)/(2x+1)].