Question

两道数学题，向各位高手请教了！！！

1、用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的数。求所有组成三位数的总和.
2、[例1]某团体从甲地到乙地，甲、乙两地相距 100千米，团体中一部分人乘车先行，余下的人步行，先坐车的人到途中某处下车步行，汽车返回接先步行的那部分人，已经步行速度为8千米/小时，汽车速度为40千米/小时。问使团体全部成员同时到达乙地需要多少时间？

A.5.5小时 B.5小时 C.4.5小时 D.4小时
请给出详解哦！谢谢

Answer 1

第一题：排列组合得到三位数的个数：P(3 6)=120 当百位为零时的个数为P(2 5)=20所以这样的三位数一共有120-20=100个。首先是120个数，每个数在个 十 百位均占了20次，所有的数的和为（包括0开头的数）=（0+1+2+3+4+5）*（100+10+1)*20=33300。再把零开头的两位数减掉即可
十位分别占有四次，个位也分别占有四次得到：（1+2+3+4+5）*4*（10+1）=660
所以所有三位数的和为：32640。
第二题：
设乘车的人在X时刻下车，经过Y时间到达乙地
那么汽车返回接步行的人需要时间：32X/48=2X/3
得到方程(5/3)*X*8+(Y-2X/3)*40+100
40X+8Y=100
解得：X=15/8 Y=25/8
X+Y=5

第二种方法：
通过线段图也比较容易解
车的速度是人的5倍。两组人步行的时间相同。步行的距离也相同
汽车一去一返，去掉与人相同的前段部分，中间部分恰好是人走路的4倍，也就是单程的2倍。
同理，汽车一返一追，走的路程也是人的5倍，减掉下车点到终点的距离，剩下中间部分恰好是人走路的4倍，也就是单程的2倍。由于人行走路程相同。也就是全程被分成了四等份。人行走部分就是是25千米。总时间为：
75/40+25/8=40/8=5小时

Answer 2

1解： 1、2、3、4、5出现在百位组成的3位数个数是一样多的。每个均为5*4=20
因此组成三位数的百位上数字和为（1+2+3+4+5）*100*20=30000
出现在十位和个位上，由于百位不能是0，因此个数为4*4=16
所以组成3位数的十位上数字和为（1+2+3+4+5）*10*16=2400.
个位上数字和为（1+2+3+4+5）*16=240
相加为32640
2解：为了使时间最短，如果记先坐车的人下车地点为D,后上车的人上车地点为C，则甲到C的距离和D到乙的距离应该是相等的。（这样才能保证同时到达）
那么可以把甲乙两地分成3段，甲到c，c到d，d到乙。在人走的距离为甲到C这段时，车走的距离为100+c到D*2，而车的速度是人的5倍，因此设c到d距离为x的话，有
(100+2x)/40=(100-x)/2/8,x=50,
所以总时间为（100+2*50）/40=5
选B

Answer 3

第一题，先考虑不含0的情况，
以ABC为例，则共有ABC、ACB、BCA、BAC、CAB、CBA六种情况
他们的和为ABC+ACB+BCA+BAC+CAB+CBA=222（A+B+C）
从1 2 3 4 5中取3个数有十种情况（123、124、125、134、135、145、234、235、245、345）可以看出每个数字出现了30/5=6遍
所以不含0的情况所有三位数的和为222*6*（1+2+3+4+5）=19980
在考虑含有0的情况
以AB0为例，共有AB0，A0B，BA0，B0A四种情况
他们的和为AB0+A0B+BA0+B0A=211（A+B）
从1 2 3 4 5中取2个数有十种情况（12、13、14、15、23、24、25、34、35、45）可以看出每个数字出现了20/5=4遍
所以含0的情况所有三位数的和为211*4*（1+2+3+4+5）=12660
综上所述，所有三位数的和为19980+12660=32640
第二题
将整个路途分为三段
甲到先步行人上车的位置距离为X1，先坐车的人下车位置距离乙地为X3，中间为X2
则先步行人所用时间为X1/8+（X2+X3）/40
先上车的人所用时间为X3/8+（X2+X1）/40
若使同时到达则时间相等，所以X1=X3
又汽车所用时间为（X1+X2+X2+X2+X3）/40=（100+2X2）/40
且X1+X2+X3=100
解得X1=X3=25，X2=50
所以所用时间为5小时

追问

又汽车所用时间为（X1+X2+X2+X2+X3）/40=（100+2X2）/40
且X1+X2+X3=100
解得X1=X3=25，X2=50
这个难以理解啊，这方程是怎么解出来的呀

追答

还有之前的方程呢，三个时间是相等的
（100+2X2）/40=X1/8+（X2+X3）/40
100+2X2=6X1+X2
100+X2=6X1
又有100-X2=2X1
就解出X1=25了

Answer 4

---------1解： 1、2、3、4、5出现在百位组成的3位数个数是一样多的。每个均为5*4=20
因此组成三位数的百位上数字和为（1+2+3+4+5）*100*20=30000
出现在十位和个位上，由于百位不能是0，因此个数为4*4=16
所以组成3位数的十位上数字和为（1+2+3+4+5）*10*16=2400.
个位上数字和为（1+2+3+4+5）*16=240
相加为32640
2解：为了使时间最短，如果记先坐车的人下车地点为D,后上车的人上车地点为C，则甲到C的距离和D到乙的距离应该是相等的。（这样才能保证同时到达）
那么可以把甲乙两地分成3段，甲到c，c到d，d到乙。在人走的距离为甲到C这段时，车走的距离为100+c到D*2，而车的速度是人的5倍，因此设c到d距离为x的话，有
(100+2x)/40=(100-x)/2/8,x=50,
所以总时间为（100+2*50）/40=5
选B
这个是正解 顶一下啊

Answer 5

1、
我提供一个笨办法
三位数，则首位不为0
假设首位是1，首位为1的数总共有20个
百位数之和为1*100*20=2000
十位数上，其余每个数字可出现4次
十位数之和为（0*4+2*4+3*4+4*4+5*4）*10=560
个位数上每个数也出现4次，个位数之和为0*4+2*4+3*4+4*4+5*4=56
所以，首位为1的数之和为2000+560+56=2616
同理
首位为其他数的百位数之和为（2+3+4+5）*100*20=28000
十位数之和为[（0+1+3+4+5）*4+（0+1+2+4+5）*4+（0+1+2+3+5）*4+（0+1+2+3+4）*4]*10=1840
个位数之和为（0+1+3+4+5）*4+（0+1+2+4+5）*4+（0+1+2+3+5）*4+（0+1+2+3+4）*4=184
所有数之和为2616+28000+1840+184=32640
2、
设第一批人坐车x小时候，汽车回去接第二批人，第一批人走y小时
则第一批人行动的距离为
40x+8y=100 ①
在第一批人下车的时候，第二批人已经运动距离为8x，汽车运动距离为40x
汽车回去接到第二批人的时间是（40x-8x）/（40+8）=2/3x，在这段时间内，第二批人又前进了
8*2/3x=16/3 x
第二批人上车后运动时间为y-2/3x，前进距离为40（y-2/3x）
所以第二批人运动距离为
40x+16/3x+40（y-2/3x）=100 ②
联立①②
解得
x=75/34 h
y=25/17 h
一共所用的时间为
x+y=125/34 h
我不晓得我解错了没