Question

两道微分中值定理题

1, 下面函数 f(x) F(x) 在区间[-1,1] 哪个满足罗尔定理 , 答案是 F(x)
f(x) F(x) 在区间连续,端点值相同 所以如何证明他们在区间可导
f(x) = x * sin(1/x) (x不等于0) , f(x) = 0 (x等于0)
F(x) = (x^2 )*sin(1/x^2) (x不等于0) , F(x)=0 (x等于0)

2, 函数 f(x)= x-(x^(1/3))*3/2在下列区间上不满足拉格朗日中值定理条件是?
a,[0,1] b,[-1,1] c,[0,27/8] ,d[-1,0]
答案选b
还是和上面一样如何证明在区间可导

Answer 1

1,唯一区别是F在（0,0）处可导
导数定义去查，在零点处，f的导数为sin（1/x）（x->0）不存在
F为x sin（1/x）（x->0）=0，很显然，sin有范围，而x独趋近於0

2，很显然，f在（0,0）处不可导（∞），包含该点必不满足Lagrange中值定理的条件

追问

第二题 4个选项都包含 x= 0 这个点 。。。
还有第一题 f的导数怎么是sin（1/x）?

追答

開區間（除端點）內可導，閉區間內連續

[x sin（1/x）-0]/[x-0] (x->0)定義看不懂？

追问

f(x) = x * sin(1/x) f(x)` = sin(1/x) - 1/x*cos(1/x) 怎么可能是 sin(1/x)

追答

只考慮(0,0)點導數

Answer 2

问题补充：因为是找同学抄的12道题，这两道不会，第9题有可能是证 f

追问

???你补充谁？