Question

数学大学微积分第一二类曲线曲面积分

1.设f（t）为连续函数，F（u）=∫（0到u） f（t）dt。F（1）=a，空间区域Ω={（x,y,z）|0<=z<=y,0<=y<=x,0<=x<=1} .计算三重积分∫∫∫（Ω）f(x)f(y)f(z)dv
2.计算第二型（即对坐标面）曲面积分 I=∫∫(s)yzdzdx+y^2dxdy
其中S是曲面z=1-x^2-y^2,z>=0部分，上侧
3.设I为从点A（-1,0）沿曲线y=cos(π/2*x)到点B（3，0）的有向弧，计算第二类型曲线积分 ∫[(x-y)/(x^2+y^2)]dx+[(x+y)/(x^2+y^2)]

Answer 1

前两道题都是基本题目

第三道题注意积分路径的重新选取就可以了

详细过程请见下图,希望对亲有帮助

(看不到图的话请Hi我)

Answer 2

LS的凡启匡拜托,你的r 趋于0
两个无穷怎么能抵消啊...????

Answer 3

1解：∫∫∫f(x)f(y)f(z)dxdydz=∫∫f(x)f(y)[F(y)-F(0)]dxdy=∫∫f(x)f(y)F(y)dxdy
=∫f(x)[1/2*F(x)^2-1/2*F(0)^2]dx==∫f(x)1/2*F(x)^2dx
=1/6*F(1)^3-1/6*F(0)^3=1/6*a^3;
2解：设I0，表示曲面在XY轴上的投影，且方向向下的 积分；所以
I+I0，表示的是一个闭曲面积分；由高斯定理：
I+I0=∫∫∫zdxdydz;其中积分区域是 曲面与XY轴，围成的内部；
I+I0=∫∫∫zdxdydz=∫∫（1-x^2-y^2)^2/2dxdy=∫∫(1-p^2)^2/2*pdpd@ (其中，p表示半径，@表示角度）
=pi/6;
I0=-∫∫y^2dxdy=-∫∫p^3*sin^2(@)dpd@=-pi/4;
所以I=5/12*pi;
3，解：由d[(x-y)/(x^2+y^2)]/dy=-d[(x+y)/(x^2+y^2)]/dx;
所以积分与路径无关；设r足够小，A（-1,0）到点B（3，0）的路径选为，X轴上，并在原点附近，以原点为中心，r为半径的半圆绕过；
所以积分分为X轴上（-1,-r), (r,3),和一个半圆周三部分；
前两部分积分=∫1/xdx=ln3;
半圆周积分=-pi;
所以原积分=ln3-pi;
LX的昔日冠军 ，前两段积分完整写法=(ln3-lnr)+(lnr-ln1)=ln3;
我并不是说 r 趋于0，事实上，只要r<1,时，上面两段直线积分都是 ln3;因为lnr 项一正一负被消
去了；不知道 我讲清了没
LX的昔日冠军，我说了，不要求r趋于0，只要r<1,比如r=0.1或0.5，都行，那么前两段积分都可以写成=(ln3-lnr)+(lnr-ln1)=ln3；我再声明一下，可以把 r取成，任何一个<1的常数都行；要不我开始就直接说 令r=0.5;那么前两段积分=(ln3-ln0.5)+(ln0.5-ln1)=ln3；知道我的意思了吗？？
LX，再问一个与这无关的 问题，我回答是匿名提交的，你怎么知道我的名称？？？