Question

已知一个扇形的周长为c（c>0），当扇形的中心角为多大时，它有最大面积？最大面积是多少？

麻烦过程 谢谢 我高一

Answer 1

设半径为r，扇形弧长为L。则题意得2r+L=C，而扇形的面积S=1/2*L*r(可以用三角形面积公式套，底为弧长，高为半径)，由2r+L=C，得L=C-2r，代入面积公式得S=1/2*(C-2r)*r=-r^2+C/2*r，对于这个抛物线，易得当r=C/4时，取面积最大值S=C^2/16，这时由r=C/4可推得L=C/2。那中心角弧度数=L/r=2

Answer 2

解：
设扇形的半径为r,中心角为a(单位为弧度),则依题有c=2*r+r*a
而此扇形的面积为S=1/2*r*(r*a)
代入公式有S=0.5*a*r^2,且r=c/(2+a):即S=0.5*a*(c/(2+a))^2
再利用二次方程的最值推论知当a^2=2时有面积最大。
所以有a=根号2=1.414(弧度) S=c^2/16

中间的推导过程这不能用数学用语写，见谅，其实就是用对号函数

追问

周长不是C=2R+l么???

追答

周长是2倍的半径加上弧长，弧长公式为半径乘以中心角弧度，所以c=2*r+r*a