Question

定义在R上的函数f(x)满足对任意的x,y属于R都有f(x+y)=f(x)+f(y)，且当x>0时，f(x)>0.

求证：(1) f(x)为奇函数
(2) 解不等式：f[log2(x+(1/x)+6)+f(-3)]<=0

谢谢啊~~~拜托拜托，麻烦把过程写详细一点.....

Answer 1

问题一：
1) f(x)为奇函数

解析：
若函数y=f(x)的定义域为D，D为关于原点对称的数集，如果对D内的任意一个x，都有x∈D，且f(-x)=-f(x)，则这个函数叫做【奇函数】。

证明：
∵ 定义在R上的函数f(x)满足对任意的x，y属于R，都有f(x+y)=f(x)+f(y)
∴ f(x+0)=f(x)+f(0) → f(x)=f(x)+f(0) → f(0)=0
∵ 已经求得：f(0)=0
f(0)=f(x-x)=f(-x)+f(-x)=0
0=f(x)+f(-x)
∴ f(-x)=-f(x)
∴ f(x)为奇函数；

问题二：
2）解不等式：f[log2(x+(1/x)+6)+f(-3)]<=0
解：
i）f(x)的单调性
① 设0<x1<x2时，则：x2-x1>0
∵ x，y∈R， f(x+y)=f(x)+f(y)
∴ f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1) 又∵ 当x>0时，f(x)>0
∴ f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)>0 又∵ f(x)为奇函数(即：f(-x)=-f(x)
f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)>0
f(x2)-f(x1)>0
f(x2)>f(x1)
∴ 函数f(x)在x>0时，为增函数
② 设x1<x2<0时， 则：x2-x1>0
∵ x，y∈R， f(x+y)=f(x)+f(y)
∴ f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)>0 又∵ 当x>0时，f(x)>0
∴ f(x2-x1)=-f[-(x2-x1)]=f(x2)+f(-x1)>0 又∵ f(x)为奇函数(即：f(-x)=-f(x)
f(x2-x1)=-f[-(x2-x1)]=-f(x1-x2)>0
=-[f(x1)+f(-x2)]>0
=-[f(x1)-f(x2)]>0
=-f(x1)+f(x2)>0
f(x2)>f(x1)
∴ 函数f(x)在x<0时，为增函数
综上所述：x∈R时，函数f(x)为增函数。
ii） 解不等式：f[log2(x+(1/x)+6)+f(-3)]≤0
∵ x，y∈R， f(x+y)=f(x)+f(y)，且f(x)为奇函数
∴ f[log2(x+(1/x)+6)+f(-3)]≤0
f[log2(x+(1/x)+6)]+f[f(-3)]≤0
f[log2(x+(1/x)+6)]+f[-f(3)]≤0
f[log2(x+(1/x)+6)]-f[f(3)]≤0
f[f(3)]≥f[log2(x+(1/x)+6)]
∴ 函数f(x)在x<0时，为增函数
f(3)≥log2(x+(1/x)+6)
∵ 解不等式f[log2(x+(1/x)+6)+f(-3)]≤0，所以可得到如下不等式组：
x+(1/x)+6>0
x≠0
f(3)≥log2(x+(1/x)+6)
【这个不等式，好像有问题：f(3)、f(-3)的值求不出来，可能是楼主写错了】

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问题二：
2）解不等式：f[log2(x+(1/x)+6)+f(-3)]<=0
【这个不等式，好像有问题：f(3)、f(-3)的值求不出来，可能是楼主写错了】
也许楼主，要解的不等式为：
f[log2(x+(1/x)+6)]+f(-3)<=0
解：
i）f(x)的单调性
① 设0<x1<x2时，则：x2-x1>0
∵ x，y∈R， f(x+y)=f(x)+f(y)
∴ f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1) 又∵ 当x>0时，f(x)>0
∴ f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)>0 又∵ f(x)为奇函数(即：f(-x)=-f(x)
f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)>0
f(x2)-f(x1)>0
f(x2)>f(x1)
∴ 函数f(x)在x>0时，为增函数
② 设x1<x2<0时， 则：x2-x1>0
∵ x，y∈R， f(x+y)=f(x)+f(y)
∴ f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)>0 又∵ 当x>0时，f(x)>0
∴ f(x2-x1)=-f[-(x2-x1)]=f(x2)+f(-x1)>0 又∵ f(x)为奇函数(即：f(-x)=-f(x)
f(x2-x1)=-f[-(x2-x1)]=-f(x1-x2)>0
=-[f(x1)+f(-x2)]>0
=-[f(x1)-f(x2)]>0
=-f(x1)+f(x2)>0
f(x2)>f(x1)
∴ 函数f(x)在x<0时，为增函数；
综上所述：x∈R时，函数f(x)为增函数。
ii） 解不等式：f[log2(x+(1/x)+6)+f(-3)]≤0
∵ x，y∈R， f(x+y)=f(x)+f(y)，且f(x)为奇函数
∴ f[log2(x+(1/x)+6)]+f(-3)=f[log2(x+(1/x)+6)]-f(3)≤0
f[log2(x+(1/x)+6)]≤f(3)
又∵ 函数f(x)在x∈R时，为增函数；
log2(x+(1/x)+6≤3
∵ 解不等式：f[log2(x+(1/x)+6)+f(-3)]≤0，
∴ 根据题意，f[log2(x+(1/x)+6)+f(-3)]≤0，等价于以下不等式组：
x+(1/x)+6>0 解集：-3-2√2<x<-3+2√2 【说明：√2表示2中开根号】
x≠0
2^3≥x+(1/x)+6 解集： x=1或x<0 【^n表示n次幂；x^3表示x的3次方，依此类推】
∴ 不等式组的解集为：
x=1 或-3-2√2<x<-3+2√2
也就是不等式f[log2(x+(1/x)+6)+f(-3)]≤0的解集为：
x=1 或-3-2√2<x<-3+2√2

Answer 2

设函数f（X)是定义域在R上的函数，且对于任意实数x y都有f(x y)=f(= t; 上式变为f(2(t^2 - mt 2m - 2))