Question

设随机变量X-e(λ),求Y=,2-3X的概率密度函数？

Answer 1

我们可以使用变量替换法来求出Y=2-3X的概率密度函数。

设Y=2-3X，变量替换得到X=(2-Y)/3。由于X服从参数为λ的指数分布，因此X的概率密度函数为：

fX(x) = λe^(-λx) (x ≥ 0)

将X=(2-Y)/3代入上式，得到：

fX((2-Y)/3) = λe^(-λ(2-Y)/3) (2 ≤ Y ≤ 5)

因为当2 ≤ Y ≤ 5时，(2-Y)/3 ≥ 0，所以上式中的条件x ≥ 0恒成立。因此，对于2 ≤ Y ≤ 5，Y=2-3X的概率密度函数为：

fY(y) = fX((2-y)/3) × |dx/dy| = λe^(-λ(2-y)/3) × 1/3 (2 ≤ y ≤ 5)

其中，|dx/dy|表示变量替换的导数绝对值，即：

|dx/dy| = 1/3

因此，Y=2-3X的概率密度函数为：

fY(y) = {
0, y < 2
λe^(-λ(2-y)/3) × 1/3, 2 ≤ y ≤ 5
0, y > 5
}

注意，在y<2或y>5时，概率密度函数为0。