Question

e^iθ＝cosθ＋isinθ

e^iθ＝cosθ＋isinθ对于任意的实数θ都是成立的，其证明过程可以利用e^x，sinx和cosx的麦克劳林级数和i^2＝－1，但是我从书上看到e^iZ＝cosZ＋isinZ对于任意的复数Z也都是成立的、我很不明白、也不清楚其证明过程是怎么来的？请教高手解答。。谢谢。。
复数的加法和减法都有很明显的几何意义。那复数的乘法和除法是否也有一定的几何意义呢？

Answer 1

实际上在定义 e^(x+iy) 的值具体是多少之前，讨论它是没意义的

而 e^(x+iy)＝e^xcosy＋ie^xsiny 正可以作为单变量的复变函数 f(z)=e^z 在 z=x+iy 处的定义

所以从这点来看欧拉公式是不需要证明的，你看到的证明是怎么回事呢？

是因为有些时候我们用另一种定义去定义 f(z)=e^z 的值，

那就是用幂级数 f(z)=e^z=1+z+z^2/2+...+z^n/n!+... 来定义，

而那个证明就是证明了这两种定义之间的等价性

现在我们有了复指数函数的定义（而且是出自两种不同的方式，却相互和谐的定义）

但是对三角函数，我们还只能处理实变量的情况，现在我们要继续推广出复变量的三角函数。

因为我们希望复变量三角函数仍然满足欧拉公式 e^z=cosz+isinz
同时注意到 e^(-z)=cos(-z)+isin(-z)=cosz-isinz
所以我们就"顺水推舟地"定义 Cosz=(e^z+e^(-z))/2

类似的，定义 Sinz=(e^z-e^(-z))/2i，Tanz=Sinz/Cosz
这样定义出来的复变量的三角函数当然也符合欧拉公式了，不过此时的正余弦函数失去了“有界性”，即对任意的复数w，不能总保证 Sinw 或者 Cosw 的模不大于1

这样欧拉公式 e^z=Cosz+iSinz 就对任意的复数z都成立了。
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复数乘法的意义体现在复数的模与辐角上，这一点写成三角形式特别容易证明

z1=r1(cosa+isina)
z2=r2(cosb+isinb)

利用简单的三角公式，很容易证明 z1z2 的模就是 r1r2 ，而辐角就是两个复数各自辅角的和 a+b
也即 z1z2=r1r2(cos(a+b)+isin(a+b))

注意模在复数乘法中的不变性是比较重要的一个性质，尽管写成三角形式它很显然，而它的另一面就是一个比较著名的恒等式：

z1=a+bi
z2=c+di

同样利用乘积的模等于模的乘积，有 (a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd)^2+(bc+ad)^2

该恒等式能反映出的一个事实是，两个形如 x^2+y^2 的数的乘积，也能表示成类似的平方和，这在数论里有一定意义，详细可见 “费马平方和问题”。

Answer 2

这个叫欧拉公式,在高等数学中的级数部分,会讲到.它的证明是基于泰勒展开
其中
e^x=1+x+x^2/2!+……+x^n/n!+……
若把ix看成x则
e^(ix)=1+ix-x^2/2!-ix^3/3!+x^4/4!+……
而
cosx=1-x^2/2++x^4/4!+……+(-1)^n*x^(2n)/(2n)!+……
sinx=x-x^3/3!+x^5/5!+……+(-1)^(n-1)*x^(2n-1)/(2n-1)!+……
比较一下
e^(ix)马上就有e^(ix)=cos(x)+iSin(x)

Answer 3

高中的复数运算是局限于数值，并没有把它推广到所有的函数运算中，
所以 sin(a+bi)、cos(a+bi) 就无法理解了，这也和当初三角函数的定义完全脱开关系了，那个几何意义已经不存在了，
这些理论，可能涉及到复变函数理论，需要找数学专业教材《复变函数论》进一步学习，这本教材或类似的教材，有外国编的，也有中国人编的，这是大学数学专业至少本科内容，研究生也可以选择这个方向，专门研究这个理论，
这些复变函数的专业理论，不是一两句，四五句，或者十几句能说清楚的，

Answer 4

直接带进去计算就好了，不是你说的那个，实数可以部分可以先提出来

Answer 5

这样的样子就是个定义的形式