Question

幂级数收敛的条件是什么？

Answer 1

将函数ln(x+√1+x^2)展开为x的幂级数，并指出其收敛半径如下：

阿贝尔定理基于常值级数收敛性判定的比较审敛法，容易得到如下结论：

定理1：若幂级数(1)在点x=a(a≠0)处收敛，则它对于满足不等式|x|<|a|的一切x都绝对收敛；

若幂级数(1)在点x=a处发散，则它对于满足不等式|x|>|a|的一切x都发散。

定理2：如果幂级数(1)既有不等于零的收敛点，又有发散点，则必存在唯一的正数R(0<R<+∞)，使得当x<|R|时，该幂级数绝对收敛；当x>|R|时，该幂级数发散。

并称正数R称为幂级数(1)的收敛半径，而以原点为中心的对称区间(-R,R)称为幂级数(1)的收敛区间．通过判定收敛区间端点x=±R处的敛散性，容易计算得到幂级数(1)收敛域与发散域。

规定：当幂级数(1)只在x=0处收敛时，规定其收敛半径R=0；当它在整个数轴上都收敛时，规定其收敛半径R=+∞。