Question

求左右极限及极限是否存在的证明。请详细解答。本人刚自学高等数学，很多知识点还不能熟透，谢谢！

求f(x)=x/x，q(x)=│x│/x当x→0时的左右极限，并说明它们在x→0时的极限是否存在。

Answer 1

先解释这一类问题，也就是带绝对值的极限问题。
你要注意绝对值里面取0时x的值，然后看是不是要求极限的点。
比如上题中0点是x=0，要求极限的点也是x=0。再比如|2x-4|中x=2就是0点。
如果0点就是要求极限的点，左右极限会受绝对值符号的影响，因为x从两侧趋近0点时绝对值里面的符号可能正好相反，而绝对值符号都给变了正的，上面的问题就是个例子。
也就是f(x)=x/x左右极限都是1，q(x)=│x│/x左右极限分别是-1，1。
但这种影响不是绝对的，如果把上面的问题中x变为x^2，那么即使没有绝对值号，分子和分母总是正的。
上面提到“趋近”，你可能不太清楚这个概念，用不太严谨的话来说，就是非常接近，比如说x从左侧趋近于1，你可以想象x等于0.9999999，虽然永远小于1，但和1的差可以是任意小的；类似的，从右侧趋近1，可以想象x等于1.000000001。
现在讲一下求左右极限的方法。
先简单地说，就是注意符号，其它的和一般的求极限一样。
谈到左右极限，主要是要注意表达式中的符号，上面说到的假想一个值就可以帮你理解了，自变量从两侧取极限时会影响到表达式中某些项的符号，
比如说lim(x→1+)e^1/(1-x)，指数上1-x应该等于比-0.0000000001的绝对值还要小很多的负数，再被1除以后，就是个非常大的负数，e的负无穷次方就是0。
而lim(x→1-)e^1/(1-x)的极限是正无穷，你可以自己想一下。其实不必把差值想到这么小，只要理解了这个意思就行了。
极限的意思就是无限的趋向某种状态，而加了极限符号，在有意义的情况下，可以认为达到了这种状态，也就是可以把x的极限值带进去，当然，很多情况下会出现分母为0等情况这个一般是可以分子分母消掉的，不行的话后面你会学到罗比达法则。
希望对你有所帮助，加油！

Answer 2

lim(x→0+)f(x)
=lim(x→0+)x/x
=1
lim(x→0-)f(x)=lim(x→0-)x/x=1
因为lim(x→0+)f(x)=lim(x→0-)f(x)
所以极限存在

lim(x→0+)q(x)
=lim(x→0+)x/x
=1
lim(x→0-)q(x)
=lim(x→0-)-x/x
=-1
所以极限不存在

追问

请问求左右极限有什么计算的方法吗？
虽然我们从表面看这两道题，都可以看出极限是多少，比如我们可以设x=1，2，3。。。来看函数的规律，是不是就只有这种观察法来求极限呢？谢谢！

追答

不是观察法啊
lim(x→0+)x/x表示x在0的右侧趋近于0时x/x的极限
因为是趋近于0，所以x是不等于0的，于是x/x约去x后就是1啊