Question

椭圆轨迹方程题目

已知M是椭圆x²/a²+y²/b²=1（a＞b＞0）上一点，过它的长轴的两个端点A和A1分别作AM和A1M的垂线，求这两条垂线的交点P的轨迹

Answer 1

设M点坐标为(xo,yo)，A点坐标为(a,0)，A1点坐标为(-a,0)
所以AM斜率k1=yo/(xo-a)，A1M斜率k2=yo/(xo+a)
所以AP斜率k1'=-(xo-a)/yo，A1P斜率k2'=-(xo+a)/yo
所以AP的直线方程为y/(x-a)= -(xo-a)/yo，AP的直线方程为y/(x+a)= -(xo+a)/yo
联立解得xo=-x，yo=(x²-a²)/y
又因为M是椭圆x²/a²+y²/b²=1上一点，所以xo²/a²+yo²/b²=1，即
(-x)²/a²+[(x²-a²)/y]²/b²=1
化简得(x²-a²)[a²(x²-a²)+b²y²]=0
前面已得出xo=-x，而-a≤xo≤a，所以x²-a²不恒为0，所以由上面的方程得
a²(x²-a²)+b²y²=0
化简即得P点的轨迹方程b²y²+a²x²=a^4
也可写为y²/(a²/b)²+x²/a²=1
表示一个焦点在y轴上的椭圆。

Answer 2

设M点坐标为(m,n) A点坐标为(a,0) A1点坐标为(-a,0)
所以AM斜率k1=n/(m-a)
A1M斜率k2=n/(m+a)
所以AP斜率k1'=-(m-a)/n
A1P斜率k2'=-(m+a)/n
所以AP方程为y-k1'(x-a)=0
AP方程为y-k2'(x+a)=0
联立解得x=-m
y=(m^2-a^2)/n
又因为M是椭圆x²/a²+y²/b²=1上一点
所以m²/a²+n²/b²=1
所以n²=b²(a²-m²)/a²
y²=(m²-a²)²/n²
=(m²-a²)²a²/b²(a²-m²)
=a²(a²-m²)/b²
又x=-m
所以y²=a²(a²-x²)/b²
b²y²+a²x²=a^4