Question

已知关于x的方程4x的平方-4mx+m+2=0

(1)若方程有实数根，求m的取值范围。

（2）若a，b为方程的两个实数根，当m为何值时a的平方+b的平方有最小值，并求出最小值。

Answer 1

(1)若方程有实数根，则
△=16m^2-16(m+2)≥0
即m^2-m-2=(m-2)(m+1)≥0
因此m≤-1或m≥2
(2)若a，b为方程的两个实数根，则有
a+b=m，ab=(m+2)/4
因此a^2+b^2=(a+b)^2-2ab
=m^2-(m+2)/2
=m²-m/2-1
=(m-1/4)^2-17/16
所以当m=1/4时取最小值，但由(1)知1/4不在m的取值范围内，
计算-1,2与1/4的差值知，当m=-1时，有最小值，最小值为1/2

Answer 2

第一问简单：m≥2或者m≤-1
第二问： 因为a，b是根，所以a+b=m
ab=(m+2)/4 （根与系数关系）

a²+b²=(a+b)²-2ab=m²-m/2-1 求这个m的式子的最值就行了
抛物线在对称轴取最值，所以m=1/4时取最小值，但是1/4不在m的范围内，由第一问中可以看出，所以只能计算m取值范围的两个点谁离1/4近，近的那个是最小值时m的取值，所以可以求出m=-1时，有最小值，最小值为1/2