Question

高中数学集合题！求详细过程！

设S是满足下列条件的实数所构成的集合：
①0不属于S，1不属于S；
②若a∈S，则1/1-a∈S.
证明：（1）S不可能是单元素集合，也不可能是二元素集合，即S至少有三个元素；
（2）S是一个三元素集合，且三个元素的乘积为-1.

Answer 1

(1)
首先，S不可能是空集，因为实数集是无限的，所以除了0,1之外，至少还有一个元素
反证法
假设，S元素只有1个。因为a∈S（a是实数），则1/(1-a)∈S，所以 a = 1/(1-a)，得a^2 -a + 1 =0，a无实数解，矛盾
假设，S元素只有2个，则a,1/(1-a)都∈S，根据题意1/[1 - 1/(1-a)]∈S，则要么有
a = 1/[1 - 1/(1-a)]，要么有1/(1-a) = 1/[1 - 1/(1-a)]
对于1/(1-a) = 1/[1 - 1/(1-a)]，可令1/(1-a) = b，(因为a≠1，所以b是实数)，b=1/(1-b)，此时b无实数解（可参考第一种假设）
对于 a = 1/[1 - 1/(1-a)]，a - a/(1-a) = 1，a/(1-a) = a -1，a = -(a^2 -2a + 1)，a^2 - a + 1=0，a无实数解
综上，a至少有三个元素
(2) 由(1)知a至少有三个元素，也就是a,1/(1-a),1/[1 - 1/(1 - a)]
化简:1/[1 - 1/(1 - a)] = 1/[-a/(1-a)] = (a - 1)/a = 1 - 1/a，所以必然有第四个元素：
1/[1 - (1 - 1/a)] = 1/[1/a] = a等于第一个元素
所以对于集合{a, 1/(1-a), 1 - 1/a}来说，只有三个元素（因为对于其中任何一个元素a,1/(1-a)都已经包含在内）
a * [1/(1-a)] * [1 - 1/a] = a * [1/(1-a)] * [(a - 1)/a] = -1

Answer 2

（1）可用反证法。假设S是单元素集合，
因为a∈S，则1/(1-a)∈S，
则a=1/(1-a)，可化为a^2-a+1=0，此方程无解。与假设矛盾。所以S不是单元素集合。
假设S是二元素集合，
因为a∈S，则1/(1-a)∈S，
所以1/[1-1/(1-a)]=a 或 1/(1-a)，
解1/[1-1/(1-a)]=a，可化为 a^2-a+1=0，此方程无解；
解1/[1-1/(1-a)]=1/(1-a)，可化为a^2-a+1=0，此方程无解。
故假设不成立，所以S不是二元素集合
即得S至少有三个元素。
（2）因为a∈S，则1/(1-a)∈S，所以1/[1-1/(1-a)]∈S
1/[1-1/(1-a)]=(a-1)/a
所以1/[1-(a-1)/a]∈S，1/[1-(a-1)/a]=a，所以S有三个元素，分别为：a ，1/（1-a），(a-1)/a，三个数乘积为-1

Answer 3

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Answer 4

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