Question

设函数fx=e的x×cos+x+gx为fx的导函数求fx的单调区间

Answer 1

要求函数 f(x) = e^x * cos(x) + g(x) 的单调区间，首先需要求出其导函数 f'(x)。

对于 e^x * cos(x)，我们可以使用乘积法则求导：
(f(x))' = (e^x * cos(x))' = e^x * (-sin(x)) + cos(x) * e^x = e^x * (cos(x) - sin(x))

然后，我们需要求 g'(x) 的表达式。由于题目中没有给出 g(x) 的具体表达式，我们假设 g(x) 可导，并且 g'(x) = a（其中 a 为常数）。

现在我们得到 f'(x) = e^x * (cos(x) - sin(x)) + a。

接下来，我们要找出 f(x) 的单调区间，就是要找出 f'(x) 的正负性质。首先观察 e^x * (cos(x) - sin(x)) 这一部分，当 e^x > 0 时，(cos(x) - sin(x)) 决定了其正负性。由于 cos(x) 和 sin(x) 在区间 [0, 2π] 上都是正的，所以 (cos(x) - sin(x)) > 0。因此，当 e^x > 0 时，e^x * (cos(x) - sin(x)) > 0。

而当 e^x < 0 时，(cos(x) - sin(x)) 决定了其正负性。由于 cos(x) 和 sin(x) 在区间 [0, 2π] 上都是正的，所以 (cos(x) - sin(x)) > 0。因此，当 e^x < 0 时，e^x * (cos(x) - sin(x)) < 0。

最后，我们考虑常数 a 的影响。a 的正负性决定了 g'(x) 的正负性。如果 a > 0，则 g'(x) > 0；如果 a < 0，则 g'(x) < 0。

综合考虑 e^x * (cos(x) - sin(x)) 和常数 a 的正负性，可以得出以下结论：

• 当 e^x > 0 且 a > 0 时，f'(x) > 0，即 f(x) 在此区间上单调递增。

• 当 e^x < 0 且 a < 0 时，f'(x) < 0，即 f(x) 在此区间上单调递减。

由于 f(x) 的单调性受 e^x 和 a 的正负性影响，而 e^x 的值在整个实数域内都包含正数和负数，所以要根据 a 的正负性来确定 f(x) 的单调区间。