Question

求证：对任何实数a，b，有不等式 ||a| - |b|| <= |a + b|

Answer 1

反证法
首先两边都大于等于0，所以平方不会改变大小关系
所以若 ||a| - |b|| <= |a + b|
则 （|a| - |b|）^2 <= （a + b）^2
a^2+b^2 -2 |a||b| <= a^2+b^2 +2ab
-|a||b| <= ab
若ab同号，则-|a||b| ＜0，ab＞0，则-|a||b| < ab
若ab异号，则-|a||b|=ab
若ab中有一个为0或均为零-|a||b|=ab=0
所以对于任何实数都有-|a||b| <= ab，即 ||a| - |b|| <= |a + b|

Answer 2

(a＋b)²－(|a|－|b|)²
=[a²＋2ab＋b²]－[|a|²－2|ab|＋|b|²]
=2ab－2|ab|=2[ab－|ab|]≤0
则：(a＋b)²－(|a|－|b|)²≤0
即：(a＋b)²≤(|a|－|b|)²
所以－[|a|－|b|]≤a＋b≤[|a|－|b|]
就是：|a＋b|≤||a|－|b||

Answer 3

两边同时平方即可。要证||a| - |b|| <= |a + b|，只需证（|a| - |b|）^2<=(a+b)^2，即证-2|a| |b|<=2ab
它显然成立，故原不等式成立。

Answer 4

←||a| - |b||^2<= |a + b|^2
←a^2+b^2-2|a||b|<= a^2+b^2-2ab
← -2|a||b|<=-2ab
←|a||b|>=ab
易证|a||b|>=ab（a、b同号，这=。a、b异号这>）
你这样顺着往上推