Question

一道关于改变二次积分顺序的题

问：改变下列二次积分的顺序
∫（从-π/4到π/2）dθ∫（从0到2cosθ）f(rcosθ,rsinθ)rdr
答：因为这是极坐标中的二次积分，我们要还原积分区域，然后先找出r的范围，再假设r一定，去找θ的范围
如图

这个视频不完整，想请高手帮忙算一下这个题的最终结果
是：
∫（0到2）dr∫（-π/4到π/2）f（rcosθ,rsinθ）dθ
直接这样换过来吗？总觉得不对

many thx..

Answer 1

首先画余迅出积分区域，以原点为圆心含毁判画圆弧，

可以看到，当0≤r≤√2时，

圆弧与积分区域的交点，谈改下限是θ=-π/4

上限为arccosr/2

当√2≤r≤2时，

圆弧与积分区域的交点，下限是-arccosr/2

上限是arccosr/2

所以交换积分区域后就是

∫(0,√2)rdr∫(-π/4,arccosr/2)dθ+∫(√2,2)rdr∫(-arccosr/2.arccosr/2)f(rcosθ.rsinθ)dθ

Answer 2

这个是要根据ρ与边界的交点分段的

详细过程消尺宽请见拿亮下图,希望对亲困带有帮助

(看不到图的话请Hi我)

(虽然极坐标下先对θ积分不常用)

追问

也非常感谢亲 真的

Answer 3

以原点为圆心画圆弧，
当0≤r≤√2时吵闷，
圆弧与积分区域的交点
下限是θ=-π/4，
上限为arccosr/2。
当缺枯√2≤r≤2时，
圆弧与积分区域的交点，
下限是-arccosr/2，
上限是arccosr/2。
所以交换伏碰洞积分区域后就是
∫(0,√2)rdr∫(-π/4,arccosr/2)dθ+
∫(√2,2)rdr∫(-arccosr/2.arccosr/2)f(rcosθ.rsinθ)dθ

Answer 4

a b c=0 b=-a-c 所明局以ax (-a-c)x c=0 ax -ax-cx c=0 ax(x-1)-c(x-1)=0 (x-1)(ax-c)=0 所则厅以孙槐隐有一个跟是x=1 方程ax

Answer 5

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