Question

已知y=(x-1)^n(x+1)^n求y的n阶导数

Answer 1

要求函数 y = (x-1)^n(x+1)^n 的 n 阶导数，我们可以使用多项式的求导法则进行计算。
首先，我们可以将函数展开为多项式的形式：
y = ((x-1)(x+1))^n
= (x^2 - 1)^n
然后我们可以使用多项式求导的链式法则来计算导数。根据链式法则，如果函数 u = g(v) 和 v = f(x)，那么 u 对 x 的导数可以表示为 du/dx = dg/dv * dv/dx。
对于函数 y = (x^2 - 1)^n，使用链式法则求导数的过程如下：
1. 将 y 展开为多项式的形式。
y = (x^2 - 1)^n
= (x^2 - 1) * (x^2 - 1) * ... * (x^2 - 1) (共 n 个因子)
2. 对每个因子进行求导。
对于 (x^2 - 1)，它的导数是 2x。
3. 将每个因子的导数相乘，得到最终的 n 阶导数。
由于有 n 个 (x^2 - 1) 因子，所以最终的 n 阶导数是：
(2x) * (2x) * ... * (2x) (共 n 个因子)
= (2x)^n
因此，函数 y = (x-1)^n(x+1)^n 的 n 阶导数是 (2x)^n。