Question

已知整数a,b,c使等式(x+a)(x+b)+c(x-10)=(x-1)(x+1)对任意的x均成立，求c的值。[请写出详细步骤]

Answer 1

(x+a)(x+b)+c(x-10)=(x-1)(x+1)
x^2+(a+b+c)x+ab-10c=x^2-1
所以
a+b+c=0 （1）
且ab-10c=-1 （2）
(1)代入(2)得 ab+10(a+b)=-1
(a+10)(b+10)=99
由于a、b均为整数，所以
(a+10，b+10)=(-1，-99)或(-3，-33)或(-9，-11)或(1，99)或(3，33)或(9，11)
则(a，b)=(-11，-109)或(-13，-43)或(-19，-21)或(-9，89)或(-7，23)或(-1，1)
由c=-(a+b)得
c的值为 -120或-56或-40或80或16或0.

Answer 2

(x+a)(x+b)+c(x-10)=(x-1)(x+1)
x^2+(a+b+c)x+ab-10c=x^2-1
所以
a+b+c=0 （1）
且ab-10c=-1 （2）
(1)代入(2)得 ab+10(a+b)=-1
(a+10)(b+10)=99
由于a、b均为整数，所以
(a+10，b+10)=(-1，-99)或(-3，-33)或(-9，-11)或(1，99)或(3，33)或(9，11)
则(a，b)=(-11，-109)或(-13，-43)或(-19，-21)或(-9，89)或(-7，23)或(-1，1)
由c=-(a+b)得
c的值为 -120或-56或-40或80或16或0.
这个是标准答案

追问

参考答案是c=20或0！！！我不懂解法！！

Answer 3

既然楼主说答案是c=20或0，那么就是楼主题目写错了应该是(x+a)(x+b)+c(x-10)=(x-11)(x+1)

Answer 4

通过化简有：
（a+b+c)x+ab-10c+1=0;与x无关，所以
a+b+c=0; ......(1)
ab-10c+1=0; ......(2)
(2)+10*(1)得：
ab+10a+10b=-1；
等价于 ab+10a+10b+100=99;
等价于（a+10)(b-+10)=99;
由于a,b为整数，a,b轮换对称，不妨设a>b;
a+10=99,b+10=1;c=-80;
a+10=-1;b+10=-99;c=120;
a+10=33;b+10=3;c=-16;
a+10=-3,b+10=-33;c=56;
a+10=11;b+10=9;c=0;
a+10=-9,b+10=-11;c=40;