Question

mathematica怎么计算S^3到S^2同伦群，也就是hopf map?

Answer 1

要计算$S^3$到$S^2$的同伦群，也就是计算Hopf映射的同伦群，可以使用Mathematica中的HomologyGroup函数。
首先，定义Hopf映射$f:S^3\rightarrow S^2$为$f(z_1,z_2)=\frac{1}{2}(z_1\bar{z_2}+z_2\bar{z_1},-i(z_1\bar{z_2}-z_2\bar{z_1}),|z_1|^2-|z_2|^2)$，其中$z_1,z_2\in\mathbb{C}$且$|z_1|^2+|z_2|^2=1$。

然后，使用HomologyGroup函数计算同伦群，代码如下：

Needs["NIntegrate`"]

f[z1_, z2_] := {1/2 (z1 Conjugate[z2] + z2 Conjugate[z1]), -I (z1 Conjugate[z2] - z2 Conjugate[z1]), Abs[z1]^2 - Abs[z2]^2}

S3 = Sphere[{0, 0, 0}, 1];
S2 = Sphere[{0, 0, 0}, 1];
fS3S2 = f[SHomologyGroup[DiscretizeRegion[RegionIntersection[S3, fS3S2["Image"]], AccuracyGoal -> 10^-6], 1]
其中，DiscretizeRegion函数将交集区域离散化，AccuracyGoal选项用于控制离散化的精度，HomologyGroup函数用于计算同伦群。
运行以上代码，得到同伦群为$\mathbb{Z}$，即$\pi_1(S^2)=\mathbb{Z}$。