Question

在∠AOB的两边OA,OB上分别取OM=ON，OD=OE，DN和EM相交于点C．求证：点C在∠AOB的平分线上．

过程要详细

Answer 1

证明：∴OM=ON，OD=OE，∠DON=∠BOM,∴△DON≌△BOM,∴∠NDO=∠MBO,
即∠CDM=∠CEN, 又∵ OM=ON，OD=OE，∴MD=NB,又∠MCD=∠NCE,∴△CMD≌△CNE,
∴CN=CM,
在△OCN与△OCM中，OC=OC,OM=ON,CM=CN,∴△OCN≌△OCM,∴∠COM=∠CON,
所以点C在∠AOB的平分线上．

追问

公园有一条“Z”字形道路ABCD(如图)，在AB，BC，CD三段路旁各有一只小石凳子E，M，F，且BE=CF，ME=MF，M是BC的中点，试说明三只石凳子E，F，M恰好在一直线上。

追答

图呢？

Answer 2

从C点做OB和OA的垂线CF和CG。因为∠AOB=∠AOB，OM=ON,OD=OE,所以三角形EOM全等于NOD,所以∠OME=∠OND,∠NDM=∠NEM,又因为DM=NE,所以三角形NEC全等于DMC.所以两个三角形的高也就是CF和CG相等，因此证明C点在∠AOB的平分线上

Answer 3

证明：
∵OD=OE，OM=ON，∠EOM=∠DON
∴△OEM≌△ODN（SAS）
∴ME=ND，∠DME=∠OND
∵MD=NE
∴△CMD≌△CNE（AAS）
∴CM=CN
∴△OCM≌△OCN（SAS）
∴∠COD=∠COE
∴点C在∠AOB的平分线上

Answer 4

首先证明△MOE≌△NOD（SAS），然后利用图形中的面积关系求得S△MDC=S△NEC，已知，两三角形的底相等，所以它们的高也相等，它们的高即是CE，CF，所以点C在∠AOB的平分线上．
证明：作CG⊥OA于G，CF⊥OB于F，如图，
在△MOE和△NOD中，
OM=ON，∠MOE为公共角，OE=OD，
∴△MOE≌△NOD（SAS）．
∴S△MOE=S△NOD．
∴S△MOE-S四边形ODCE=S△NOD-S四边形ODCE，
∴S△MDC=S△NEC，
∵OM=ON，OD=OE，
∴MD=NE，
由三角形面积公式得：
1/2×DM×CG=1/2
×EN×CF，
∴CG=CF，又∵CG⊥OA，CF⊥OB，
∴点C在∠AOB的平分线上．
本题主要考查了角平分线上的点到角两边的距离相等的逆定理．而且考查了三角形全等判定和性质；所以学生所学的知识要系统．正确作出辅助线是解题的关键．